プリント配布からの問題です。

[問] Φ:R^n＼{0}→(0,∞)×S^{n-1}; x|→Φ(x):=(r,γ)を同相写像とする。
(0,∞)上のBorel集合体B((0,∞))上の測度ρ_nをρ_n(F)=∫_F r^{n-1}dr…①とし,
Borel集合体B(R^n)においてΦ(B(R^n))上の測度をν_nとし,
ν_n=ρ_n×σ_n…②なるS^{n-1}上の測度σ_nが存在するとする。
この時,fがB(R^n)上の非負Borel可測関数かf∈L^1(R^n,B(R^n),μ_n) (但し,μ_nはB(R^n)上のBorel測
度)
ならば
∫_{R^n} f(x)dx=∫_0^∞(∫_{S^{n-1}}f(rγ))r^{n-1}dσdr…(*)が成立する。

を示しています。

[証]
E∈B(R^n)の特性関数χ_Eに対し,χ_E(Φ^-1(r,γ))=χ_{Φ(E)}(r,γ)…③と書けるのでdμ_n:=dxと表す事にすれ
ば
(∵dxはdm_n(x)(但しm_nはn次元ルベーグ測度)と書ける)
∫_{R^n} f(x))dx=∫_{R^n} f(x)dμ
=∫_{R^n} χ_E(x)dμn
=μ_n(E)(∵特性関数の積分の定義) =ν_n(Φ(E))(∵③)
=∫_{(0,∞)×S^{n-1}}χ_{Φ(E)}(r,γ)dν_n.
=∫_{(0,∞)×S^{n-1}}χ_{Φ(E)}(r,γ)r^{n-1}drdσ_n(∵①,②)

で①,②からどうして,
∫_{(0,∞)×S^{n-1}}χ_{Φ(E)}(r,γ)dν_n.
から
∫_{(0,∞)×S^{n-1}}χ_{Φ(E)}(r,γ)r^{n-1}drdσ_n
の変形ができるのか分かりません。

①からdρ_n/dr=r^{n-1}なのでdρn=r^{n-1}dr.
よって
∫_{(0,∞)×S^{n-1}}χ_{Φ(E)}(r,γ)dν_n.=∫_{(0,∞)×S^{n-1}}χ_{Φ(E)}(r,γ)d
(ρ_n×σ_n)
=∫_{(0,∞)×S^{n-1}}χ_{Φ(E)}(r,γ)dρ_ndσ_n
=∫_{(0,∞)×S^{n-1}}χ_{Φ(E)}(r,γ)r^{n-1}dr.ndσ_n
となったのだと思いますがどうしてd(ρ_n×σ_n)=dρ_ndσ_nが成り立つのでしょうか?

ここを突破すると後はお決まりのように単関数,MCT,f=f^+-f^-と拡張していけます。

吉田京子