ご回答有難うございます。
遅くなりまして申し訳ありません。

>> そうですね。それが題意でしたね。
>> [ax+b]=[a'x+b'] (但し,a,b,a',b'∈R)と置くと
>> [ax+b]={φ(x)≡ax+b(mod <x^2+x+1>)},
>> [a'x+b']={φ'(x)≡a'x+b'(mod <x^2+x+1>)}なので
>> φ(x)∈[ax+b]∩[a'x+b']なるものが取れる。
>> この時,φ(x)≡ax+b≡a'x+b' (mod
>> <x^2+x+1>)と言えるから
>> (a-a')x+(b-b')=h(x)(x^2+x+1)
>> (但し,h(x)∈R[x])と書ける。
>> ここからどうすればa=a',b=b'が導けますでしょうか?
>  h(x) が 0 でない多項式であるとすれば,
> 右辺の最高次の
> 項は x について 2 次以上の項になりますから,
> 矛盾します.
>  h(x) = 0 より, a = a', b = b' となります.

ありがとうごさいます。これは気が付きませんでした。

>> このψは全単射である事は明らかですよね。
>> 環準同型を満たす事は
>> ψ([ax+b]+[a'x+b'])=ψ([(a+a')x+(b+b')])=(a+a')+(b+b')i=a+bi+a'+b'i=([ax
>> +b]+・([a'x+b'])
>> ψ([ax+b][a'x+b'])=ψ([(ax+b)(a'x+b')])=ψ([aa'x^2+(ab'+a'b)x+bb'])
>> から
>> ψ([ax+b])ψ([a'x+b'])と変形できませんね。
>> どのようにψを定義したらいいのでしょうか?
>  R[x]/(x^2+x+1) の元 [x] は

[x]はxを代表元とする<x^2+x+1>を法とする類ですから
[x]={φ(x)≡x(mod <x^2+x+1>)}={x+f(x)(x^2+x+1);f(x)∈R[x]}ですね。

> [x]^2 + [x] + [1] = [x^2 + x + 1]

これは類の加法・乗法の定義からこのように変形できますね。

> = [0] を満たしますから,

[x^2 + x + 1]={φ(x)≡x^2+x+1 (mod <x^2+x+1>)}
={x^2+x+1+f(x)(x^2+x+1);f(x)∈R[x]}={(x^2+x+1)(f(x)+1);f(x)∈R[x]}
で一方,
[0]={x^2+x+1+f(x)・0;f(x)∈R[x]}={x^2+x+1;f(x)∈R[x]}={x^2+x+1}となる。

従って,{(x^2+x+1)(f(x)+1);f(x)∈R[x]}≠{x^2+x+1}なので
[x^2 + x + 1]=[0]とは言えないと思うのですが、、、

> 複素数体 C の中の z^2 + z + 1 = 0
> を満たす元 z に写さないといけません.
> 例えば ω = (-1 + √3 i)/2 として,
> Φ([a x + b]) = a ω + b で
> Φ: R[x]/(x^2+x+1) → C
> を定義すれば, 同型であることが示せます.

Φ([ax+b]+[a'x+b'])=Φ([(a+a')x+(b+b')])(∵類の加法の定義)
=(a+a)ω+(b+b') (∵Φの定義)
=(aω+b)+(a'ω+b')
=Φ([ax+b])+Φ([a'x+b'])

で和を保存し,積については

Φ([ax+b])Φ([a'x+b'])=(aω+b)(a'ω+b') (∵Φの定義)
=aa'ω^2+(aa'+b'b)ω+bb'
=aa'((-1+√3i)/2)^2+(aa'+b'b)(-1+√3i)/2+bb'
=aa'((1-3-2√3i)/4)+(aa'+b'b)(-1+√3i)/2+bb'
=aa'((-2-2√3i)/4)+(aa'+b'b)(-1+√3i)/2+bb'
=aa'((-1-√3i)/2)+(aa'+b'b)(-1+√3i)/2+bb'
=aa'((-1-√3i)/2)+aa'(-1+√3i)/2+b'b(-1+√3i)/2+bb'
=aa'(-2/2)+b'b(-1+√3i)/2+bb'
=-aa'+b'b(-1+√3i)/2+bb'
=(-aa'+bb')+b'b(-1+√3i)/2
=(-aa'+bb')+b'bω
一方,
Φ([ax+b][a'x+b'])=Φ([aa'x^2+(ab'+a'b)x+bb'])(∵類の乗法の定義)
=Φ([aa'x^2+(aa'-aa'+ab'+a'b)x+aa'-aa'+bb'])
=Φ([aa'(x^2+x+1)+(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb'])
=Φ([aa'(x^2+x+1)]+[(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb']) (∵類の加法の定義)
=Φ({x^2+x+1+f(x)(aa');f(x)∈R[x]}+[(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb']) (∵類の定義)
でここからは{x^2+x+1+f(x)(aa');f(x)∈R[x]}=[0]が成立つのかなとも思いましたが
=Φ([0]+[(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb'])
=Φ([0+(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb']) (∵類の加法の定義)
=Φ([(-aa'+ab'+a'b)x-aa'+bb'])
=(-aa'+ab'+a'b)ω+(-aa'+bb')(∵Φの定義)
となり,(-aa'+bb')+b'bω'になってくれません。

何処が間違っているのでしょうか?