工繊大の塚本です.

In article <86a91472-f9e2-473a-8296-0345d516759b@o4g2000vbo.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> そうですね。それが題意でしたね。
> [ax+b]=[a'x+b'] (但し,a,b,a',b'∈R)と置くと
> [ax+b]={φ(x)≡ax+b(mod <x^2+x+1>)},
> [a'x+b']={φ'(x)≡a'x+b'(mod <x^2+x+1>)}なので
> φ(x)∈[ax+b]∩[a'x+b']なるものが取れる。
> この時,φ(x)≡ax+b≡a'x+b' (mod <x^2+x+1>)と言えるから
> (a-a')x+(b-b')=h(x)(x^2+x+1) (但し,h(x)∈R[x])と書ける。
> ここからどうすればa=a',b=b'が導けますでしょうか?

 h(x) が 0 でない多項式であるとすれば, 右辺の最高次の
項は x について 2 次以上の項になりますから, 矛盾します.
 h(x) = 0 より, a = a', b = b' となります.

> このψは全単射である事は明らかですよね。
> 環準同型を満たす事は
> ψ([ax+b]+[a'x+b'])=ψ([(a+a')x+(b+b')])=(a+a')+(b+b')i=a+bi+a'+b'i=([ax
> +b]+\xCF^H([a'x+b'])
> ψ([ax+b][a'x+b'])=ψ([(ax+b)(a'x+b')])=ψ([aa'x^2+(ab'+a'b)x+bb'])から
> ψ([ax+b])ψ([a'x+b'])と変形できませんね。
> どのようにψを定義したらいいのでしょうか?

 R[x]/(x^2+x+1) の元 [x] は [x]^2 + [x] + [1] = [x^2 + x + 1]
 = [0] を満たしますから, 複素数体 C の中の z^2 + z + 1 = 0
を満たす元 z に写さないといけません. 例えば ω = (-1 + √3 i)/2 と
して, Φ([a x + b]) = a ω + b で Φ: R[x]/(x^2+x+1) → C を
定義すれば, 同型であることが示せます.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp