ご回答大変ありがとうございます。


>> という問題です。書き下すと lim[k→∞]‖f_k-f‖_p=0(つまりlim[k→∞](∫_Ω|f_k(x)-f(x)|^p)^(1/p)=0)で
>>  ∀x∈Ωに対し,lim[k→∞]g_k(x)=g(x) そして ∀k∈Nに対し,inf{K∈R;|g_k(x)|≦K
>>  a.e.}≦M.
> このとき, g についても |g(x)| ≦ M ですね.

そうですね。

>> ならば lim[k→∞]‖f_k(x)g_k(x)-f(x)g(x)‖_p=0 (つまりlim[k→∞](∫_Ω(f_k(x)-f(x))^p)^(1/p)=0)
> 「つまり」の後の式で g_k, g が抜けています.
>  lim_{k→∞} (∫_Ω |f_k(x) g_k(x) - f(x) g(x)|^p dμ)^{1/p} = 0
> というわけですね.

すいません。ありがとうございます。絶対値記号も必要でした。


>> となる事を示せ。
>  |f_k(x) g_k(x) - f(x) g(x)|
>  = |f_k(x) g_k(x) - f(x) g_k(x) + f(x) g_k(x) - f(x) g(x)|
>  ≦ |(f_k(x) - f(x)) g_k(x)| + |f(x)(g_k(x) - g(x))|
>     = |f_k(x) - f(x)| |g_k(x)| + |f(x)||g_k(x) - g(x)|
>     ≦ 2 max{|f_k(x) - f(x)| |g_k(x)|, |f(x)||g_k(x) - g(x)|}
> ですから,
>  |f_k(x) g_k(x) - f(x) g(x)|^p
>  ≦ (2 max{|f_k(x) - f(x)||g_k(x)|,  |f(x)||g_k(x) - g(x)|})^p
>  ≦ 2^p(|f_k(x) - f(x)|^p |g_k(x)|^p + |f(x)|^p |g_k(x) - g(x)|^p)

「f≧g E(∈Σ)上でμ-a.e.なら∫_E fdμ≧∫_E gdμ」という命題がありました。
そして|f_k(x) g_k(x) - f(x) g(x)|は非負関数なので定義関数列が存在する(つまり,積分可能である)。
よって
(∫_Ω|f_k(x) g_k(x) - f(x) g(x)|^pdμ)^(1/p)≦(∫_Ω2^p(|f_k(x) - f(x)|^p |
g_k(x)|^p + |f(x)|^p |g_k(x) - g(x)|^p)dμ)^(1/p)
→(∫_Ω2^p(0^p |g_k(x)|^p + |f(x)|^p・0^p)dμ)^(1/p) (as k→∞)
=(∫_Ω0dμ)^(1/p)=0・μ(Ω)^(1/p) (∵μ積分の定義)
=0 (∵μ(Ω)<∞??)

うーん、最後のμ(Ω)<∞はどうすれば言えますでしょうか(σfiniteからだけではμ(Ω)<∞は言えませんよね)?