(Ω,Σ,μ)がσ有限測度空間で1≦p<∞でf_kはfにL^p収束で∀x∈Ω,lim[k→∞]g_k(x)=g(x)で∀k,‖g_k‖_∞≦Mならf_kg_kはfgにL^p収束する事を示せ

たびたびすいません。

μがσfinite measureの定義は
「Σが有限加法性族でμ(B)⊂[0,∞]でΣ∋b_1,b_2,…が互いに素なら
μ(∪[i=1..∞]b_i)=Σ[i=1..∞]b_i)」
です。

Let (Ω,Σ,μ) be any σ-finite measure space and suppose 1≦p<∞.
If f_k→f in L^p and ∀x∈Ω,lim[k→∞]g_k(x)=g(x),where ∀k,‖g_k‖_∞≦M,
prove f_kg_k→fg in L^p.

という問題です。書き下すと
lim[k→∞]‖f_k-f‖_p=0(つまりlim[k→∞](∫_Ω|f_k(x)-f(x)|^p)^(1/p)=0)で
∀x∈Ωに対し,lim[k→∞]g_k(x)=g(x)そして ∀k∈Nに対し,inf{K∈R;|g_k(x)|≦K a.e.}≦M.
ならば lim[k→∞]‖f_k(x)g_k(x)-f(x)g(x)‖_p=0(つまりlim[k→∞](∫_Ω(f_k(x)-f(x))^p)
^(1/p)=0)
となる事を示せ。

という問題なのですがこれもどうすればいいのか分かりません。
是非,ご教示ください。m(_ _)m