ご回答大変有難う誤差います。

>> すいません。どのようにして示せますでしょうか?
> Cantor 集合が可算集合でないことはどのようにして
> 示されましたか?

Cantor集合Cの構築で,残った部分の点を3進展開で表すとΣ_{i=1}^∞2c_i/3^i (但し,c_iは0か1)
そして,[0,1]の任意の点を2進展開で表すと,_{i=1}^∞c_i/3^i (但し,c_iは0か1)と表せる。
よってΦ:C→[0,1]をC∋∀Σ_{i=1}^∞2c_i/3^i→Σ_{i=1}^∞c_i/2^iと定義するとΦは全単射となるので
#C=#[0,1]=アレフ
でCは非可算集合となりますね。

> S の self-similar set としての記述について,
>> ratio r=1/2とm=3similarlitiesをS_1(x)=x/2,S_2(x)=2/x+α,S_3(x)=x/2+β
> !                       x/2

すいません。「S_2(x)=x/2+α」でした。

>> x∈Sはx∈R^2の点ですよね。x/2とはどういう意味でしょうか?
> x/2 = (1/2) x, x を( S の左下の頂点を原点としての)
> ベクトルで考えて, そのスカラー 1/2 倍です.

有難うございます。
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/measure_theory/self_similar_20090515.jpg
のように対応するのですね。
飽くまで,第0世代と第1世代はこの図のようになっているでしょうがSierpinski triangle Sは極限図形ですから,上記の図のように
なっているかは分かりませんよね。
その場合はどうすればいいのでしょうか?