ご回答大変有難うございます。

>>> #  diam F_j を半径とする開球を取るのでは, #  F_j ⊂ B_j とはならないかも知れませんね.
>> えーと、これはどうしてでしょうか?
> F_j の一点 p から diam F_j だけ離れた点 q が F_j にあれば,
> p を中心とする半径 diam F_j の開球 B_j は q を含みません.

なるほど。diamF_j:=sup{|x-y|;x,y∈F_j}なのでF_jの最端点がF_jの境界点になってる場合はB_jはそれを含めませんね
(∵B_jは"開"球)。

>> Σ_{l=1}^kはΣ_{l=1}^k 1/2^{l_j・α}の意味でしょうか? 何故,2^{-k} ≦
>> min_{1≦j≦N} diam(B_j) < 2^{-k+1}なるkで Nを置き換えれるのでしょうか?
> 1 ≦ j ≦ N なる B_j について,
> 2^{-l} ≦ diam B_j < 2^{-l+1} となる l は l ≦ k ですから,
> Σ_{l=1}^∞ でなく, Σ_{l=1}^k で良い, と言っているのです.

分かりました。Σ_{l=k}^∞ N_l1/2^{lα}での各項のN_lは0となりますね。
それで
Σ_{h=1}^j diam(B_{i_h})^α≧Σ_{h=1}^j (1/2^{l_h})^α
=Σ_{h=1}^j 1/2^{l_hα}
=1/2^{l_1α}+1/2^{l_2α}+…+1/2^{l_jα}
でjは最大でもkまでしかの和にしかなりませんね。

吉田京子