ご回答大変ありがとうございます。


>>> v ∈ B, v ∈ Δ'_l から, Δ'_l ⊂ B^* が
>>> 導かれるところは宜しいですか.
：
> そういう特別な場合についての議論では証明になりません.

そうですね。

>  B の中心を O とすると, d(O, v) < (1/2) diam B であり,

そうですね。開球Bは2^-l≦B<2^{-l+1}で(l≦)k世代の頂点vを含むように採られているのですからそのようになりますね。

>  Δ'_l の任意の点 P について d(v, P) ≦ 2^{-l} ≦ diam B

そうですね。このような関係になりますね。

> ですから, d(O, P) ≦ d(O, v) + d(v, P) < (3/2) diam B

「d(O, v) < (1/2) diam B」と「d(v, P) ≦ 2^{-l} ≦ diam B」からそのような不等式になりますね。

> となり, P ∈ B^* であることが分かります.

OKです。

>>> Δ'_l が v を中心として半径 2^{-l} の球に含まれ,
>  diam Δ'_l ≦ 2^{-l} の方が分かりやすかったですか.

そうですね。でも「d(v, P) ≦ 2^{-l}」でd(v,P)の最大値は2^-lですから分かりました。

>> これは何処に記述されてますか?
>> △'_lはk世代の小三角形ら△_kを含む小三角形としか記載されてませんが。。
>  Δ'_l は l 世代の小三角形であるので, 上は成立します.

了解いたしました。

>>> それは B^* に含まれるというわけです.
>> v∈△_k⊂△'_l⊂B^*からは△'_lがB^*に含まれるとは分かりますが。。
> いや, そこを上のようにして示す必要があるわけです.

なるほど。

>> すいません。「c'4^{-l} の面積の Δ'_l でことなるもの」
>> ってどういう意味でしょうか?
>  B に含まれる k 世代の頂点それぞれに対して, Δ'_l が
> 決まりますが,

B^*に含まれる色々な△'_l (l≦k)がある訳ですね。

> それらは相異なるとは限りません. B に
> 含まれる k 世代の頂点全ての数を上から評価するには

B^*ではなくBに含まれるk世代の頂点ですね。

> 相異なる Δ'_l に含まれる k 世代の頂点全ての数の
> 合計を考えるわけです.

兎に角,Bに含まれるk世代の頂点の個数は1/3^{k-1}ですね。

>>> c = [c''/c'] 個
>> これはπ(3*2^{-l})^2÷√3/4・1/4^lの事ですよね。c''=9π,c'=√3/4。
>> で上述の通りc=65個でいいんですかね。
> 数値には意味がありません. 上から評価されることだけが問題です.

兎に角,Bに含まれるk世代の頂点の個数は(k≧)lの値にかかわらず有界である事を言いたいのですね。

>> 単にB^*の最大面積を△'_lの面積で割った商が
>> △'_lがB^*に入り得る個数になるという考えは
>> あまりに短絡過ぎると思うのですが。。
>> 複数の△'_lをバラしてB^*に整理して詰め込めば
>> 65個はいるのかもしれませんが
>> △'_lも所詮,祖先三角形の一部なのでバラす事はできないと思うのですが。。
> こういう荒い評価でも良いのです.

なるほど。有界である事を言いたいのだから65が限界である事が分かれば,実際は整理して詰め込めないだろうが兎に角,k世代の頂点の個数はlの値にか
かわらず有界という事が分かりますね。

>> 必ず,このようなlが採れるという保障は何処から来るのでしょうか?
>> もしかしたら∀l∈Nに対して,diamB_j<1/2^lとなるかもしれませんよね。
>> その場合はdiamB_j=0でB_jは一点集合でそれらがSを覆っているかもしれませんよね。
>  S は非可算集合なので,

Cantor集合と同じ理由でSも非可算集合となるのですね。

>  全ての B_j が一点であったとすると,
> それらが S を覆うことはありませんが,

なるほど。Sは非可算なので高々有限個の全B_jがdiamB_j=0でSを覆う事などあり得ない訳ですね。

> 確かに text は
>  diam F_j = 0 となる F_j がある場合の話をしていない点で
> 不十分です.

なるほど。

> しかし diam F_j = 0 なる(点) F_j 全体の α 次の
>  Hausdorff measure は 0 ですから, 実はそれらは無視できます.

そうですね。今,Σ_{i=1}^N(diamB_j)^α>∃c≧0を言いたいんですよね。
そして,幾つかのB_jはdiamB_j>0である筈だから,特に気にする必要はないのですね。

> 証明としては, 任意の正数 ε を固定する時,
>  diam F_j = 0 なる F_j があれば,
：
> #  diam F_j を半径とする開球を取るのでは,
> #  F_j ⊂ B_j とはならないかも知れませんね.

えーと、これはどうしてでしょうか?

>> これは分かります。2^{-l} ≦ diam B_jなるlが採れれば,
>> Σ_{j=1}^N (diam B_j)^α=Σ_{j=1}^N 1/2^{l_j・α}=Σ_{l=1}^∞ N_l/2^{lα}
>> (但し,N_l∈{0,1,…,N)

ここは
「Σ_{j=1}^N (diam B_j)^α=Σ_{j=1}^N 1/2^{l_j・α」は「Σ_{j=1}^N (diam B_j)
^α≧Σ_{j=1}^N 1/2^{l_j・α」
でしたね。きっかり等号になるとは限りませんものね。

>> という形に書け,Σ_{j=1}^N 1/2^{l_j・α}が有限和ですから
>> Σ_{l=1}^∞ N_l/2^{lα}…①も有限和。
>  2^{-k} ≦ min_{1≦j≦N} diam(B_j) < 2^{-k+1} となる
>  k をとれば, 実際には Σ_{l=1}^k で良いわけです.

Σ_{l=1}^kはΣ_{l=1}^k 1/2^{l_j・α}の意味でしょうか?
何故,2^{-k} ≦ min_{1≦j≦N} diam(B_j) < 2^{-k+1}なるkでNを置き換えれるのでしょうか?

>> 即ち,纏めるとSの有限個の開球被覆∀{B_1,B_2,…,B_N}に対して
>> Σ_{j=1}^N (diamB_j)^α
：
>> ここから(*)がどうして言えるのでしょうか?
>  F_j (F'_j) の番号も付け替えておくと,
：
> です. ε は任意ですから,
>   Σ_{j=1}^∞ (diam F_j)^α ≧ c > 0
> です.

これでdiamF_j=0なるF_jを含む被覆の場合にもΣ_{j=1}^∞ (diam F_j)^α ≧∃ c > 0が言えましたので
無事,このSはα=ln3/ln2でstrict Hausdorff次元を持つ事が示せましたね。
どうもありがとうございます。