柳楽です。

Tsukamoto Chiaki wrote:
> 工繊大の塚本と申します. 柄ではありませんが, 少し考えてみました.
> 
> In article <42443C24.1040600@d5.dion.ne.jp>
> 柳楽盛男 <nagira@d5.dion.ne.jp> writes:
> 
>>q = exp(2πiz)として
>>F(z) = q Π_n (1-q^n)^2 (1-q^1n)^2
>>を定義します。
> 
> 
> 少し式が乱れています.
> 
>   F(z) = q Π_n {(1 - q^n)^2 (1 - q^{11n})^2}
> 
> ですね. 

そうでした。

>   [1 m][a b][1 n] = [a+mc b+md][1 n] = [a+mc b+md+na+mnc]
>   [0 1][c d][0 1]   [   c    d][0 1]   [   c        d+nc]
> 
> ですから, c = 11, c' = 1 のとき, a, d は 0 ≦ a, d < 11 で
>  ad ≡ 1 (11) であるとして良く,

なるほど,0 ≦ a, d < 11と制限をかけても一般性は失われないんですね。

> 
>   [ 2 1] [ 3 1] [ 4 1] [ 5 4] [ 6 1] [ 7 5] [ 8 5] [ 9 4] [10  9]
>   [11 6] [11 4] [11 3] [11 9] [11 2] [11 8] [11 7] [11 5] [11 10]
> 
> の各場合に η(z) の変換性から示しておくのではどうでしょうか.

力技ですね。あまりスマートではありませんがやってみます。

> 例えば
> 
>   η((2z + 1)/(11z + 6)) = η(- 1/(- 1/(- 1/z - 2) - 6))
>     = [√(-i(- 1/(- 1/z - 2) - 6))] η(- 1/(- 1/z - 2) - 6)
>     = [√(-i(- 1/(- 1/z - 2) - 6))] exp[-(πi)/4] η(- 1/(- 1/z - 2))
>     = [√(-i(- 1/(- 1/z - 2) - 6))] exp[-(πi)/4]
>       ×[√(-i(-1/z - 2))] η(- 1/z - 2)
>     = [√(-i(- 1/(- 1/z - 2) - 6))] exp[-(πi)/4]
>       ×[√(-i(-1/z - 2))] exp[-(πi)/12] η(- 1/z)
>     = [√(-i(- 1/(- 1/z - 2) - 6))] exp[-(πi)/4]
>       ×[√(-i(-1/z - 2))] exp[-(πi)/12] [√(-iz)] η(z)
>     = exp[-(πi)/3] [√(i(11z + 6))] η(z),
>   η(11(2z + 1)/(11z + 6)) = η(2 - 1/(11z + 6))
>     = exp[(πi)/12] η(- 1/(11z + 6))
>     = exp[(πi)/12] [√(-i(11z + 6))] η(11z + 6)
>     = exp[(πi)/12] [√(-i(11z + 6))] exp[(πi)/4] η(11z)
>     = exp[(πi)/3] [√(-i(11z + 6))] η(11z),
> 
> から
> 
>   F((2z + 1)/(11z + 6)) = (11z + 6)^2 F(z),
> 
> を示す, というのを全部やっておけば, 任意の a, b, d で
>  ad - 11b = 1 をみたすものについて
> 
>   F((az + b)/(11z + d)) = (11z + d)^2 F(z),
> 
> が示せたことになり, 後は帰納法に乗るでしょう.

確認してみます。

> 
> # 余りやりたいとは思いませんが.