q = exp(2πiz)として
F(z) = q Π_n (1-q^n)^2 (1-q^1n)^2
を定義します。SL_2(Z)の部分群
Γ_0(11) = { | a b |∈SL_2(Z) | c ≡ 0 mod 11}
             | c d |
に対してF{(az + b)/(cz+d)} = (cz + d)^2 F(z)が成立するということですが
うまく証明できません。

これまでに
1. F(z+1) = F(z)
2.  F(-1/z) = -z^2/11 F(z/11)
3. d = 1のとき成立。
4. c = 0のとき成立。
が理解できました。

Δ(z) = q  Π_n (1-q^n)^24でのSL_2(Z)に関して
Δ{(az + b)/(cz + d)} = (cz + d)^12 Δ(z)はcに関しての帰納法で示せるので
F(z)についてc' = c/11の帰納法を用いようと考えました。
しかし、c' = 1のときb = (ad - 1)/11ですから
F{(az + b)/(11z + d)} = F[{a (11z + d) - 1}/{11 (11z + d)}]
と変換できますがF(z+1) = F(z)とF(-1/z) = -z^2/11 F(z/11)を
両立して使うことができません。
またdに関する帰納法では
(c,d) = 1より∃s, r ∈Z | c = ds + r , 1≦r ≦c-1とできて
F{(az + b)/(cz + d)} = F[{-b(-1/z-s) + a - bs}/{-d(-1/z-s) + r}]
と変換できてよさそうですが d ≡ 0 mod 11でないのでいけません。
なにか視点がたりないようにも思います。どのように進めればよいでしょうか？

柳楽＠生物系