柳楽です。よろしくお願いします。内積に関して物理記述法をお許しください。

ヒルベルト空間の定義は内積空間でその内積から定義されたノルムに関して
完備なものということになっていると思います。
n次元複素列ベクトル空間に内積 < x | y > = Σ_i　x_i* y_iを入れた
空間C^nとのアナロジーで説明されることが多いので分かっているつもり
でしたがよくよく考えるとわからないことがでてきました。

C^nの場合、 | x > のi列成分をx_iとして < x | はi行成分がx_i*
(*は複素共役)である行ベクトルをあてることにより双対空間の元 < x |を
1対１対応させていますが一般のヒルベルト空間では | x >の共役元 < x |は
双対空間の元であることは確かですが、特に取り方が決まっていないように
見えますがどうなのでしょう？内積が定義されているので二つの元
| x >, | y >に対して写像 H^2∋ | x > , | y >  ->  < y | x >が
決められているので < x |も決められているということでしょうか？
今、困っているのは、Hに作用する線形演算子Aについて
 A | x > = b | y >　ならば　 < x  |A~ = b* < y |
(A~はAの共役演算子で< A~ y | x > = < y | A x >により定義）
を上記 C^nとのアナロジーなしで(C^nでは両辺のエルミート共役を
とるで終わりですね。）一般のヒルベルト空間で示すことができないことです。
これがないと自己共役演算子の異なる固有値の固有ベクトルが
直交することができずひいては完全性関係を導けないので、量子論において
可観測量に自己共役演算子をあてることの正当性が示せないですね。

柳楽@生物系