ご回答大変有難うございます。

>> X=[0,1],μ:=m(但し,mはLegesgue測度)とすると m([0,1])=1-0=1<∞で
>> f_n(x)=sin(1/x)+1 (1/n≦x≦1の時), 0 (それ以外の時) とすると
>> f_n→sin(1/x)+1 a.e.で∫_[0,1]|f_n|dm<∞なのでf_nは積分確定ですが,
>> ∫_[0,1] sinx dxは積分不確定なので偽。
>> でいいのでしょうか?
> 0 ≦ sin(1/x) + 1 ≦ 2 ですから, f_n も f も同じく有界です.
> 問題の後半部のように有界収束定理で
> lim_{n→∞} ∫_{[0, 1]} f_n(x) dx = ∫_{[0, 1]} f(x) dx
> が成立します. ∫_{[0, 1]} sin(1/x) dx は問題なく積分が決まります.

そうでした。
0 ≦ sin(1/x) + 1 ≦ 2だから[0,1]では積分値は有限でしたね。

> 例としては有界でないものを考えないといけないわけです.
> f_n は有界でないが, f_n → 0 a.e. となるようなもので
> 例を作りましょう.

f_n(x)=1/(nx^(1/3)) は[0,1]では有界ではありませんが,(0,1]ではf_n(x)→0 (as n→∞)ですから
f_n(x)→0 (as n→∞) a.e.x∈[0,1]と言えますね。
そして,∫_[0,1]f_n(x)dx=∫_[0,1]1/(nx^(1/3))dx
=1/n∫_[0,1]1/x^(1/3)dx=1/nlim_{c→0+}∫_[c,1]x^(1/3)dx
=1/nlim_{c→0+}[3x^(2/3)/2]=1/nlim_{c→0+}(3/2-3c^(3/2)/2)
=3/2n<∞なのでf_n∈L^1なので∫_[0,1]f_n(x)dxは真で
∫_[0,1]f(x)dx=∞・m({0})+0・m((0,1]) (∵単関数の積分の定義)
=∞・0+0・m((0,1]) (∵Lebesgue測度の定義)
=0+0・m((0,1]) (∵Lebesgue空間での∞・0の定義)
=0+0・(1-0) (∵Lebesgue測度の定義)
=0<∞

となって偽になりませんのでこれは反例にならないのですが,,
どのような反例がありますでしょうか?