有限測度空間でf,f_n:X→[-∞,∞],n=1,2,…,可測の時,f_n→f a.e.で |f_n|≦1なら∫f_n→∫fで反例f_n(x)=sinxは使えない?

いつも大変お世話になっております。

Let (X,M,μ) be a finite measure space and let f,f_n:X→[-∞,∞],n=1,2,…,
be measurable functions. Label each of the following statements as
TRUE or FALSE.
(a) If f_n→f a.e,then ∫f_n→∫f.
(b) If f_n→f a.e. and |f_n|≦1,then ∫f_n→∫f.

という問題についてです。

(a)はFALSEですね。反例として,
f_1=sinx (0≦x≦π/2の時),0 (それ以外の時),
f_2=sinx (-π/2≦x≦πの時),0 (それ以外の時),
f_3=sinx (-π≦x≦πの時),0 (それ以外の時),
f_4=sinx (-π≦x≦3π/2の時),0 (それ以外の時),
：
とするとf_n→sinx a.e.で∫f_n∈Rですが∫fは積分不確定なので
「∫f」.は偽で「∫f_n→∫f.」も偽で,「If f_n→f a.e,then ∫f_n→∫f.」も偽。

となりました。

(b)についても(a)の|sinx|≦1なのでそのまま反例になるかと思いましたが,これは有界収束定理が使えてTRUEが正解のようです。

どうして,(a)の反例がここでは使えないのでしょうか?