いつも大変お世話になっております。


プリント配布からの質問です。
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/theorem3_3.jpg
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極座標の積分式についての質問です。
説明を追って言っているのですが途中で分からない箇所がありました。

3.2 Integration formula for polar coodinates.
The polar coodiantes of a point x∈R^d＼{0} are the pair (r,γ),where
0<r<∞ and γbelongs to the unit sphere S^{d-1}={x∈R^d,|x|=1}.These are
determined by
(8) r=|x|,γ=x/|x|,and reciprocally by x=rγ.
 Our intention here is to deal with the formula that, with appropriate
definitions and under suitable hypotheses,states:
(9) ∫_{R^d}f(x)dx=∫_{S^{d^1}}(∫_0^∞ f(rγ)r^{d-1}dr)dσ(γ).
For this we consider the following pair of measure spaces. First,
(X_1,M_1,μ_1),where X_1=(0,∞),M_1 is the collection of Lebesgue
measurable sets in (0,∞), and dμ_1(r)=r^{d^1}dr in the sense that μ_1
(E)=∫_E r^{d-1}dr. Next,X_2 is the unit sphere S^{d-1],and the measure
μ_2 is the one in efect determinde by (9) with μ_2=σ. Indeed given any
set E⊂S^{d^1} we let E~={x∈R^d;x/|x|∈E,0<|x|<1} be the "sector" in the
unit ball whose "end-points" are in E. We shall say E∈M_2 exactly when
E~ is a Lebersgue measurable subset of R^d,and define μ_2(E)=σ(E)=d・m
(E~),where m is Lebesgue measure in R^d.
 With this it is clear that both (X_1,M_1,μ_1) and (X_2,M_2,μ_2)
satisfy all the properties of complete and σ-finite measure spaces.We
note also that the sphere S^{d^1} has metric on it given by d(γ,γ')=|γ-
γ'|,for γ,γ'∈S^{d-1}. If E is an open set (with respect to this
metric) in S^{d-1},then E~ is open in R^d,and hence E is a measurable
set in S^{d^1}.

『　点x∈R^d＼{0}の極座標は組(r,γ) 但し,0<r<∞である.そしてγは単位球S^{d^1}={x∈R^d,|x|=1}に属する。こ
れらは
(8)  r=|x|,γ=x/|x|,and reciprocally by x=rγ.
我々の狙いは適切な定義と仮定で
(9) ∫_{R^d}f(x)dx=∫_{S^{d^1}}(∫_0^∞ f(rγ)r^{d-1}dr)dσ(γ).
とする。これには対して,我々は次の測度空間の組を考える。先ず(X_1,M_1,μ_1)但し,X__1=(0,∞),M_1は(0,∞)でのルベー
グ集合体.そしてμ_1(E)=∫_E rd^{d-1}drの意味でのdμ_1(r)=r^{d-1}dr.  次にX_2は単位球S^{d-1}
で,測度μ_2は(9)でのμ_2=σによって基本的に決定づけられる。確かに任意に与えられた集合E⊂S^{d-1}で我々がE^=
{x∈R^d;x/|x|∈E,0<|x|<1}は端点がEにある単位球内のsectorとする。E∈M_2はきっちりE^がR^d内のルベーグ可測集
合である事としよう。そしてμ_2(E)=σ(E)=d・m(E^)と定義しよう.但し,mはR^dでのルベーグ測度。
　(X_1,M_1,μ_1)と(X_2,M_2,μ_2)は完備とσ有限の性質を満たす』

ここでどうして(X_1,M_1,μ_1)が完備とσ有限の性質を満たすのかが分かりません。
(X_1,M_1,μ_1)か本当にルベーグ空間なら
M_1はルベーグ集合体{E∪Z;E,Fはルベーグ可測,Z⊂F,μ_1(F)=0}という完備なσ集合体になっているとは思いますが(∵ルベーグ空間
の定義)
μ_1が完備な測度かどうすればわかるのでしょうか?
dμ_1(r):=r^{d-1}drがμ_1の定義のようですがdμ_1(r)の"d"は何を意味しているのでしょうか?
(このdは無限小の意味でしょうか? ちょっと記号に混乱しております)
単にμ_2のd倍という意味(dは実数)ならμ_1(r)=r^{d-1}μ_1/dと書いてもいいのでしょうか?
μ_1が完備測度である事はμ_1が完備σ集合体M_1上でちゃんと定義されているかチェックしてみればいいのですよね。
任意のE∈M_1を採るとμ_1(E)がちゃんと定義されているかはどうかが上記の記法による混乱で計算できずにいます。
そして,X_1がσ有限である事を確かめたく{E_n}↑Xでμ_1(E_n)<∞になるかを知りたいのですが
相変わらずμ_1(E_n)は"μ_1(r)=r^{d-1}μ_1/d"の定義ではどう計算できるのか分かりません。

続いて,,
(X_2,M_2,μ_2)ではM_2を曲面Eがルベーグ可測な時,E~はルベーグ可測集合になりそれらの集まりをM_2と定義しています。
S^{d-1}上に空集合以外でルベーグ可測集合が存在する事はS^{d-1}はR^{d-1}∪{∞}と同相でR^{d-1}∪{∞}上には勿論,通
常通り開集合が定義できますからS^{d-1}上にも開集合の存在が認められ,よってルベーグ可測集合が存在する。
そしてS^{d-1}上のルベーグ可測集合Eの,secter E^がルベーグ可測集合になるという理由は
sectorE~は(r,γ)∈(0,∞)×R^{d-1}という点の集合でE~=(0,a)×E⊂(0,∞)×R^{d-1} (但し,a∈
(0,1)でr=|a-0|)と書ける。
そこでEはルベーグ可測とする。(0,a)は開区間なので勿論,ルベーグ可測。
よって前記事「Let m_j be the Lebesgue measure for the space R^{d_j} ,j=1,2.
Consider
the product R^d=R^{d_1}×R^{d_2} (d=d_1+d_2),with m the Lebesgue
measure on
R^d. Show that m is the completion (in the sense of Exercise 2) of
the
product measure m_1×m_2.」 を使えば直積(0,a)×E,即ちE~もルベーグ可測。と言えるのですね。
そして,このルベーグ可測なsector全体(これをM_2~で表す)はルベーグ集合体をなす
(∵(0,1)×S^{d-1}からR×(R^{d-1}∪{∞})の同相写像が存在し(∵略),R×(R^{d-1}∪{∞})でのルベーグ可測集合
全体はσ集合体をなす(∵某命題))
よってψ:M_2→M_2~∋∀E→ψ(E):=d^{1/d}E~ (d^{1/d}はdのd乗根)と定義するとこのψは同相となる(∵略)。
したがって,M_2もルベーグ集合体 …【1】 をなし,

「(Ω,Σ,λ)がルベーグ空間で(Ω',Σ')はルベーグ可測空間でλ'をΣ'上の測度とする。
この時,λ'(ψ(E)):=λ(E)なる同相写像ψ:Σ→Σ'が存在すればλ'もルベーグ測度になる」
という命題はありますでしょうか?

もしあればこの命題からμ_2(E):=d・m(E~)=m(d^{1/d}E~)(∵degree d のhomogeneousというルベーグ測度
の性質)と定義したμ_2はルベーグ測度 …【2】になる。

よって【1】,【2】より(X_2,M_2,μ_2)はルベーグ空間をなし,ルベーグ空間の定義から(X_2,M_2,μ_2)は完備空間となる。

、、、、とこのように考えたのですが勘違いしておりませんでしょうか?


あと,(X_2,M_2,μ_2)がσ有限になる理由が分かりません。X_2への単調増加有限可測集合列をどのように採れますでしょうか?

『我々はS^{d-1}が距離を持つ事に気づく。d(γ,γ'):=|γ-γ'|とするとEがこの距離dに関して開集合なら,E~も開集合となる』
が分かりません。この距離dはγとγ'とを結ぶ弦の長さですよね。という事はd:R^d×R^d→[0,∞)という関数になっているのですよね。
その時,開集合はどのように定義できますでしょうか?
通常のやり方だと,「Eが開集合 (⇔def) Eの任意の点はEに含まれる近傍を持つ」となり, どうあがいてもEの点の近傍はR^d次元の集合です
からEに収まるはずはありませんよね。
という事は|γ-γ'|は曲面^{d-1}上でγとγ'とを結ぶ最短距離(曲面上での2点間の最短距離の定義は?と聞かれると返答に窮しますが)と考え
ていいのでしょうか?


吉田京子