Sylvesterの定理は各空間に基底を与えるのかもしれません。

V_p=Span of the positive elements of the basis
V_n=Span of the negative elements.

つまり,
V_p:=span{v∈V;もしv≠0なら<v,v>>0}
V_n:=span{v∈V;もしv≠0なら<v,v><0}
これなら線形部分空間になりますよね。

と書けるのではないでしょうか??