工繊大の塚本です.

In article <k2ott8$eau$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> In article <120903221715.M0127209@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.j> writes:
> > \hat{\zeta}(1-s) = \hat{\zeta}(s) は任意の s で成立しますから,
> 
> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/prop213__00.jpg
> となったのですが

 \hat{\zeta}(s) も \hat{\zeta}(1-s) も全複素数平面上での
有理形関数であり, s = 0, 1 にのみ一位の極を持ち,
それ以外では正則で, 一致していることは既に示されているとして,

> ∞(where s=0 is a pole of order of 1)と
> ∞(where s=1 is a pole of order of 1)とは等号で結べるものなのでしょうか?

極での値そのものには無限大になるという以上の意味がありませんが,

  \hat{\zeta}(s)
  = a_{-1}/s + a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n s^n
  = b_{-1}/(s-1) + b_0 + \sum_{n=1}^\infty b_n (s-1)^n

をそれぞれ s = 0, 1 での \hat{\zeta}(s) の Laurent expansion と
すれば, s = 1 の近くでは

  \hat{\zeta}(s)
  = \hat{\zeta}(1-s)
  = a_{-1}/(1-s) + a_0 + \sum_{n=1}^\infty a_n (1-s)^n
  = (-1) a_{-1}/(s-1) + a_0 + \sum_{n=1}^\infty (-1)^n a_n (s-1)^n

となるので, Laurent expansion の一意性から,

 b_{-1} = - a_{-1}, b_0 = a_0, b_n = (-1)^n a_n  (n \in \mathbf{N})

となるという意味で, s = 0 の極と s = 1 の極とは
結びつくことになります.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp