工繊大の塚本です.

In article <jpedgu$lt7$1@dont-email.me>
"Kyoko Yoshida" <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop192_124_00.jpg
> が使えるからですよね?

 Re(s) > 1 において
 \sum_{n=0}^\infty 1/(n+x+1)^s = -1/x^s + \sum_{n=0}^\infty 1/(n+x)^s
が成立することから, それらの解析接続として定義される
 \zeta(s, x+1) と \zeta(s, x) について
 \zeta(s, x+1) = -1/x^2 + \zeta(s, x) が成立する,
というのが正しい.

> 実際
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop200_2__03.jpg

はまあ良いとしても,

> \xE3^A\xA8
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop200_25__06.jpg

これは意味がないし, \Gamma(s) の変な表示が出て来たから
以下無視しますが, いずれ,

> とから
> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop200_3__07.jpg
> を導きましたが。

最後は意味不明.

> In article <120521191939.M0115364@ras2.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > まあ, 具体的な評価を別に与えるのも良いだろうとそうした
> > のですが, \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!) u^n = u e^{xu}/(e^u - 1) から
> > 議論するのであれば, 0 < x \leq 1 のときと, 1 < x のときを
> > 分けることもないので, 気になるならそうしましょうか?
> > ちょっと面倒になりますが.
> 
> はっはい。是非ご教授ください。

以前にどこかで注意したように, u e^{xu}/(e^u - 1) の収束半径は
 2 \pi ですから, u e^{xu}/(e^u - 1) = \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!) u^n
で定義される B_n(x)/n! について, 0 < r < 2 \pi を満たす
任意の実数 r について, 十分大きな実数 M を取れば,
 |B_n(x)/n!| \leq M/r^n と評価できます.
後は, 0 < x \leq 1 については |B_n(x)/n!| \leq 1/2^n と
なることから正則性を示したときと同じです.
 
> もっと正確には0<x且つC\setminus{1}に解析接続したものですよね?

はい, 0, -1, -2, \dots では正則であることが分かりますから.

> C〓R^+ででも考えられるものとばかり思い込んでおりました。

テキスト 94 page の定義 3.14 の通りです.

> http://www.geocities.jp/sayori_765195/prop200_17__01.jpg
> とすれば宜しいでしょうか? 

先ず, x は 0 にしてはいけません.
英文の構文が間違っているのは無視します.
後は何も変わらず, 間違っています.

例えば, s = 1 での Laurent 級数展開を導くには,
 \sum_{n=3}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1)) が |s| < 2 で,
従って, s = 1 で正則であり,
 n=2 の (B_2(x)/2!)(1/(s+1)) が s = 1 で正則であり,
 n=1 の (B_1(x)/1!)(-1/s) が s = 1 で正則であるので,
 \sum_{n=1}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1)) は s = 1 で正則であり,
 \sum_{n=1}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1))
  = \sum_{n=0}^\infty a_n (s - 1)^n と Taylor 展開されるので,
 \sum_{n=0}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1))
  = (B_0(x)/0!)(1/(s-1)) + \sum_{n=1}^\infty (B_n(x)/n!)((-1)^n/(s+n-1))
  = (B_0(x)/0!)(1/(s-1)) + \sum_{n=0}^\infty a_n (s-1)^n
という表示を持つことを使うのです. 
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp