工繊大の塚本と申します.

In article <85f509ae-c337-443f-8ba7-31ca0ad24324@k22g2000yqh.googlegroups.com>
KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> Riemannのζ関数({s∈C;Re(s)>1}→C;ζ(s):=Σ_{n=1}^∞1/n^s)が
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/figure018.jpg
> の,2重連結の領域D∈{C_1〓C_2∈2^A;C_1:={z∈C;|z-a|≦r_1} and
> C_2:={z∈C;|z-a|<r_2}, r_1,r_2∈R, r_1>r_2} (a∈C)にて
> 一様収束する事を示せ。

 Re(s) > 1 の部分有界閉領域ですから,
当然, \sum_{n=1}^\infty 1/n^s は一様収束します.
その証明には Weierstrass の優級数判定法を用いれば良い.
 
> を下記のようにして四苦八苦しております。
> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/prop193_00.JPG
> 3箇所分からない部分があるのですがどのように理由付けすればよろしいでしょうか?

 |1/n^s| = 1/n^{Re(s)} であることは既に述べました.
 Re(s) > 1 の部分有界閉領域 \bar(D) に対しては,
 \min { Re(z) ; z \in \bar(D) } = r_0 > 1 が定まりますから,
 |1/n^s| = 1/n^{Re(s)} \leq 1/n^{r_0} となっています.
 r_0 > 1 より級数 \sum_{n=1}^\infty 1/n^{r_0} は収束しますから,
 Weierstrass の優級数判定法により,
関数項級数 \sum_{n=1}^\infty 1/n^s は \bar(D) において
(絶対)一様収束します.
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塚本千秋@数理・自然部門.基盤科学系.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp