ご回答大変有難うございます。

>> つまり,lim_{x→a}S(x) (但し,Sは像が集合の写像)という記法は 間違いなのでしょうか?
> 集合の集合での極限の定義を別に与えておかないといけませんね.
> ∩_{x<a} S(x) なら, そういう定義なしに了解可能です.

つまり,lim_{x→a}S(x)は予め,∪や∩やらで定義しておかねばならないのですね。
或いはμ(lim_{ε→+0}(a - ε, a]):=μ((lim_{ε→+0} (a - ε),a])と定義しておかねばならないのてす
ね。
μ(lim_{ε→+0}(a - ε, a])はμ((lim_{ε→+0} (a - ε),a])の事だろうと自然に解釈できると思うのですが
μ(lim_{ε→+0}(a - ε, a])を別の意味に取られる場合もあるのでしょうか?

>> 「 μ((0, 1]∩A) = m ((0, 1]∩A)」の等号成立は何故なのでしょうか?
> E が 1 を含まなければ μ(E) = m(E) ですから.


そうでした。自明でしたね。

>> supportというと,A∩B=φを必ずしも考慮しなくて ∀E∈Mに対し,
>> μ(E∩A)=μ(E),m(E∩B)=m(E)を意味するのでここでは
>> A,Bはsupportではないと仰っているのでしょうか?
> 測度 ν の support の定義は,
> supp ν = { x ∈ R | ∀ε> 0, ν((x - ε, x + ε)) > 0 }
> です.

singularをなすA,Bを必ずしもsupportと呼ぶ訳ではないのですね。

> これは閉集合です.

b∈bndy(supp ν) (但し,bndy(A')はA'の境界点の集合)を採ると
もし,bがsupp νに含まれないなら,
∃ε_0> 0;ν((b-ε_0, b+ε_0))=0…①で,この時,
b-ε_0かb+ε_0はsupp νに含まれる。b-ε_0が含まれるとすると
(b-ε_0-(b+b-ε_0)/2,b-ε_0+(b+b-ε_0)/2)⊂supp νだから
ν((b-ε_0-(b+b-ε_0)/2,b-ε_0+(b+b-ε_0)/2))>0…②となるが
(b-ε_0-(b+b-ε_0)/2,b-ε_0+(b+b-ε_0)/2)⊂(b-ε_0,b+ε_0)だから,
①よりν((b-ε_0-(b+b-ε_0)/2,b-ε_0+(b+b-ε_0)/2))=0でなければならない(∵単調性)。
これは②に矛盾する。
よってbndy(supp ν)⊂supp νだからsupp νは閉集合となるのですね。

>A = { t_1, t_2, … } は集積点を
> 持つかも知れないので, supp μ は A の閉包です.

A = supp μ となるとは限らないのですね。

> 一方, Lebesgue measure m の support は R 全体です.

なるほど。 これも supp m ≠ A や supp m≠ Bですね。