工繊大の塚本です.

この問題での N は, 外測度 ν_* についての
 Caratheodory measurable subsets の全体です.

In article <9dff3471-89ac-415c-9f01-1aad2d6c83cd@o27g2000vbd.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> σ集合体の定義は「closed under contable unions,countable intersections
> and complements」となっているのですが空な族はtrivialなので
> σ集合体は空でない集合族という定義があるのですかね。

普通, σ集合体といえば空でないものを指しますが,
いずれにせよ, N は空集合と X を含みますから,
 { E ; ∀A ⊂ X, ν_*(A) = ν_*(E∩A) + ν_*(E∩A^c) } は
 N ではありません.

> ここでは(a)は真だと思ってましたので,
> Nはσ集合体でν_*(A)=ν_*(E∩A)+ν_*(E∩A^c) for every A⊂X
> を使ってしまいました。
> 素直にν_*(A)=ν_*(E∩A)+ν_*(E^c∩A) for every A⊂Xを使うほうが賢明ですね。

勿論, それが N の定義です.

(c) について,

> ここでも(a)からNがσ集合体を満たさないので偽なのですね。

いや, だから, それは N ではありません.
 N は勿論σ集合体です.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp