いつも大変お世話になっております。

Let ν_* be an exterior measure on X and N the set of Caratheodory
measurable subsets of X. Lebel each of the following statements as
TRUE or FALSE.

(a) A set E⊂X is in N if and only if ν_*(A)=ν_*(E∩A)+ν_*(E∩A^c) for
every A⊂X.
(b) The set N is complete
(c) The set N is a σ-algebra.
(d) If X=R^d and ν_* is the exterior Lebesgue measure,then N is the
set of Lebesgue measurable sets.
(e) If X=R^d and ν_* is the exterior Lebesgue measure, then N is the
smalletst σ-algebra that contains the open sets.

という問題についてです。

(a)については
ν_*(X)=0なら2^Xの元全てがν_*(A)=ν_*(E∩A)+ν_*(E∩A^c) for every A⊂X.を満たす。
ν*(X)>0ならA=φの時,0=ν_*(φ)=ν_*(E∩φ)+ν_*(E∩X)=ν_*(E)なので,μ*(E)=0…①.
しかし,A=Xなら,0<ν_*(X)=ν_*(E∩X)+ν_*(E∩φ)=ν_*(E)となり,①に矛盾。
従って, {E;for∀A⊂X,ν_*(A)=ν_*(E∩A)+ν_*(E∩A^c)}=φとなってしまう。
でも一応,σ集合体の定義は満たすので{E;for∀A⊂X,ν_*(A)=ν_*(E∩A)+ν_*(E∩A^c)}はσ集合体。
という事でTRUE。

(b)については
ν_*(A)=ν_*(E∩A)+ν_*(E∩A^c) for every A⊂Xを満たすならば
F⊂Eに対しても
ν_*(A)=ν_*(E∩A)+ν_*(E∩A^c)≧ν_*(F∩A)+ν_*(F∩A^c) (∵単調性)
となるのでFもν-可測なのでTRUE。

(c)については命題「Caratheodory可測集合全体はσ集合体をなす」からTRUE。

(d)についても
命題「∀A⊂R^d,μ*(A)=μ*(A∩E)+μ*(A∩E^c) (但し,μ*は(Caratheodory)外測度)
⇔
inf{m*(U＼E)∈[0,∞];E⊂U∈T,TはR^dの通常の位相}=0 (但し,m*はLebesuge外測度)」
よりTRUE。

(e)についてはFALSEらしいのですがどうしてなのでしょうか?

吉田京子