Re: m^*_αはHausdorff外測度とする。∀r>0に対して,m^*_α(rE)=r^αm^*_α(E)?

工繊大の塚本です.

In article <76039b0b-141c-478f-b33f-dc7301f5e0c2@o20g2000vbh.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> すいません。
> (d) If m^*_α(E)<∞ and β>α,then m^*_β(E)=∞
> でした。

そうですか.

> えっ!? でも示せと言われたらどのように書けますでしょうか?

 diam(r E_i) = r diam(E_i) をどう示せばよいか分かりませんか?

> In article <090507180109.M0408544@cs1.kit.ac.jp>
> Tsukamoto Chiaki <chiaki@kit.ac.jp> writes:
> > 問題は
> >  m^*_α(rE)
> >  =lim_{ε→0} inf{ Σ_{i=0}^∞ diam(E_i) ;
! !                                diam(E_i)^α でした.
> >                    diam(E_i) < ε, rE ⊂ ∪_{i=1}^∞ E_i }
> > を書き換えるところでしょう.
> 
> m^*_α(rE)
> =lim_{ε→0} inf{ Σ_{i=0}^∞ diam(E_i)^α;diam(E_i) < ε, rE ⊂ ∪_{i=1}^∞
> rE_i}
> から
> =lim_{ε→0} inf{ Σ_{i=0}^∞ diam(E_i)^α;diam(E_i) < ε, E ⊂ ∪_{i=1}^∞
> E_i}
> でしょうか?

  m^*_α(rE)
  = lim_{ε→0} inf{ Σ_{i=0}^∞ diam(E_i)^α ;
                     diam(E_i) < ε, rE ⊂ ∪_{i=1}^∞ E_i }

に対して, E_i = rE'_i とすると,

  = lim_{ε→0} inf{ Σ_{i=0}^∞ diam(rE'_i)^α ;
                     diam(rE'_i) < ε, rE ⊂ ∪_{i=1}^∞ rE'_i }
  = lim_{ε→0} inf{ Σ_{i=0}^∞ r^α diam(E'_i)^α ;
                     r diam(E'_i) < ε, rE ⊂ ∪_{i=1}^∞ rE'_i }
  = lim_{ε→0} r^α inf{ Σ_{i=0}^∞ diam(E'_i)^α ;
                          diam(E'_i) < ε/r, E ⊂ ∪_{i=1}^∞ E'_i }
  = r^α lim_{ε→0} inf{ Σ_{i=0}^∞ diam(E_i)^α ;
                          diam(E_i) < ε, E ⊂ ∪_{i=1}^∞ E_i }
  = r^α m^*_α(E).

> > それはそうですが, 記述が違っていませんか.

これは最初の部分の話です.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp