工繊大の塚本です.

In article <efc74377-634a-42aa-b630-18692e94c530@s20g2000vbp.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> つまり,∀n∈Nと∀x,y∈[0,1]に対して
> (3/2)^n |x - y| + 2/2^nが5|x-y|^γで抑えられるのですよね。

違います. ∀n ∈ N と ∀x, y ∈ [0,1] に対して

  |F(x) - F(y)| ≦ (3/2)^n |x - y| + 2/2^n

ですから, 1 < 3^n |x - y| ≦ 3 となる n についても,

  |F(x) - F(y)| ≦ (3/2)^n |x - y| + 2/2^n

が成立していて, そのとき,

  |F(x) - F(y)| ≦ (3/2)^n |x - y| + 2/2^n < 5 |x - y|^γ

になっているのです.

> もし,x-y=1なら,5|x-y|^γ=5で,
> n=4の時 (3/2)^n |x - y| + 2/2^n=5.1875となって,
> (3/2)^n |x - y| + 2/2^n≧5|x-y|^γとなってしまいますが。。

 |x - y| = 1 に対しては 1 < 3^n |x - y| ≦ 3 となる n は
 n = 1 ですから, (3/2)^1 |x - y| + 2/2^1 = 5/2 < 5 です.

>  |F(x) - F(y)| ≦ (3/2)^n |x - y| + 2/2^n
> ここまでは∀n∈Nと∀x,y∈[0,1]で
> = (3^n |x - y| + 2)/2^n
> ここはもはや∀n∈Nと∀x,y∈[0,1]ではなくなっているのですよね?

いいえ,

  (3/2)^n |x - y| + 2/2^n = (3^n |x - y| + 2)/2^n

は恒等式です.

> どうしてここで∀n∈N,∀x,y∈[0,1]から
> 特定のx,yに対する特定のnに摩り替えれるのでしょうか?

任意の n について成立しているのであれば,
その中で都合の良いものを一つ選んでも,
それについても成立しているので, そうしているだけです.

> 分かりやすいように記号を別にしてもいいいのでしょうか?
> 「元々 0 ≦ |x - y| ≦ 1 ですから, |x - y| ≠ 0 なら,
>  m∈を 1 < 3^m |x - y| ≦ 3 となるように取れる. 」

 1 < 3^n |x - y| ≦ 3 となる n を m とすると.

> 「 |F(x) - F(y)|
>   ≦ (3/2)^n |x - y| + 2/2^n
>   = (3^m|x - y| + 2)/2^n 」

間違いですね.

  |F(x) - F(y)|
  ≦ (3/2)^n |x - y| + 2/2^n 
   = (3^n |x - y| + 2)/2^n

より, 特に,

  |F(x) - F(y)|
  ≦ (3/2)^m |x - y| + 2/2^m 
   = (3^m |x - y| + 2)/2^m

となります.

> という具合に。でもこれだと
> (3/2)^n |x - y| + 2/2^n =(3^m|x - y| + 2)/2^n
> が言えなくなってしまいますよね。

  (3/2)^m |x - y| + 2/2^m = (3^m |x - y| + 2)/2^m

は言えますよ. で, 何か問題ありますか.
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塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp