ご回答大変有難うございます。

> n は x, y によって決まります. x, y が変われば変わりますが,
> どの x, y についても有限で定まります.

有限で決まるにしてもえんえんと大きいnを採り続けなればならないのなら,あるMで抑えれるとは言えないのではないでしょうか?

>> 今,|F(x)-F(y)|<M|x-y|^γを示したので,xとyの採りようによって,
>> Mの値を変えなければならないのならMは最早,定数ではありま
>> せんよね。
> 以下に見るように, M の値は x, y に無関係に決まります.

今,∀x,y∈[0,1]に対して,|F(x)-F(y)|≦M|x-y|^γなるM∈Rが採れる事を示したいのですよね。
例えば,xによって決まるnで|f(x)|≦n|x|となるからと言って,あるMで|f(x)|≦M|x|と抑えれるとは言えませんよね。
(例:f(x)=x^2の場合など)

|F(x) - F(y)|≦ (3/2)^n |x - y| + 2/2^nの不等式は任意のn,任意のx,y∈[0,1]について,成り立つので
すよね。
,,なのに,「|x - y| ≠ 0 なら, n を 1 < 3^n |x - y| ≦ 3 となるように取れる.」とここではnを任意のものと
してない所がいまいち分からないのです。