工繊大の塚本です.

In article <a65f4c29-0ac3-460f-96e4-1f20fb99778d@f19g2000yqh.googlegroups.com>
kyokoyoshida123 <kyokoyoshida123@gmail.com> writes:
> E⊂OとなるようにO∈Tを採る時,m(O＼E)<δは分かりますが,
> 更に∪_{i=1}^N B_i⊂Eなるように採れるという保障は何処から来るのでしょうか?

「 ∪_{i=1}^N B_i ⊂ O 」となるようにするにはどうすれば良いかは,
 Corollary 3.10 の証明に書いてあります.

  Since we are dealing with a Vitali covering of E,
  we can restrict all of our choices above to balls
  contained in O.

与えられた Vitali covering の内, O に含まれるものだけを
考えてもやはり Vitali covering になるので, それを使えば
良いわけです.
-- 
塚本千秋@応用数学.基盤科学部門.京都工芸繊維大学
Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp