ご回答誠に有難うございます。

>> 複素多様体を数ベクトル空間として見た時に,
>> スカラー倍で違いが生じてしまうのですね。
> 複素数体上の数ベクトル空間は一つの複素多様体ですが,

C^nがC上のベクトル空間なら
∪_{(U,V)∈T_{C^n}×T_{C^n}}Home(U,V)
の部分集合Aで{U∈T_{C_n};U=dom(f),f∈A}がC^nの開被覆
となるものがatlasとなるのでしょうか?

> 任意の複素多様体を数ベクトル空間と見ることが出来る
> わけではありません.
> 何を以って複素多様体の複素構造というか, は別のお話.

与えられた複素数多様体(X,A)が位相空間XがX=C^nで無ければ数ベクトル空間には成りえないという事ですね。

>> つまり,C^nはCのスカラー倍について閉じているが,
>> R^nはCのスカラー倍について閉じていないという事ですね。
> そういう理解で今は良いでしょう.

了解です。

>> atlasを確実にchartの集まりとしました
>> http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_C_alpha_class_differntiable_manifold__00.pdf
>> これで今度こそ大丈夫かと思います。
> "complex topological manifold" などという言葉はありません.
> C^n で考えても R^{2n} で考えても「位相同型写像」に
> 変わりはありませんから.

了解です。

「「複素構造」です.
複素数体 C 上の数ベクトル空間 C^n では
複素数のスカラー倍がありますが,
実数体 R 上の 数ベクトル空間 R^{2n} では
実数のスカラー倍しかありません.」

から複素多様体を定義する時には,topological manifoldはC^nで考えねばならないのですね。

> [Def 684] は (ii) の部分が駄目です.
> 複素多様体というのは atlas について定まる概念ですから,
> atlas A に属する任意の charts (U_1, V_1, f_1: U_1 \to V_1),
> (U_2, V_2, f_2: U_2 \to V_2) について, U_1 \cap U_2 \neq \emptyset
> であれば, (f_1)\circ(f_2)^{-1}: f_2(U_1 \cap U_2) \to f_1(U_1 cap U_2)
> が biholomorphic である, というのが条件です.

有難うございます。
http://www.geocities.jp/a_k_i_k_o928346/def_of_complex_manifold__02.jpg
で取りあえずいいのですね。

> この性質を満たす altas A の各要素 (U, V, f: U \to V) が
> holomorphic な chart である, というのは良いでしょう.
> # 最初の atlas A に属さない chart について
> # それが holomorphic な chart かどうかを議論する
> # こともあるわけですが.

取りあえず単に複素多様体の定義の記述に関してはatlas Aに属さないchartに付いては触れないでいいのですね。

> [Def 685] でも, atlas A に属する charts について,
> という書き方になっていないと意味がありません.

了解です。