m^*_αはHausdorff外測度とする。∀r>0に対して,m^*_α(rE)=r^αm^*_α(E)?

いつも大変お世話になっております。

Let m^*_α denote the α-dimensional exterior Hausdorff measure and let
E,E_1,E_2⊂R^d.
Label each of the following statements as TRUE or FALSE.
(a) If E_1⊂E_2,then m^*_α(E_1)≦m^*_α(E_2).
(b) If E_1 and E_2 have positive distance, then
m^*_α(E_1∪E_2)=m^*_α(E_1)+m^*_α(E_2).
(c) For r>0,m^*_α(rE)=r^αm^*_α(E).
(d) If m^*_α(E)<∞ and β>α,then m^*_α(E)=∞.

という問題についてです。

(a)はただ単調性の性質ですからTRUEですね。

(b)は
http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/p327_165.jpg
のproprety3からTRUEですね。

(c)は正解はTRUEらしいのですが
m^*_α(rE)
=lim_{ε→0}inf{Σ_{i=0}^∞ diam(rE_i),diam(E_i)<ε,rE⊂∪_{i=1}^∞ rE_i}
=lim_{ε→0}inf{Σ_{i=0}^∞ r^αdiam(E_i)^α,diam(E_i)<ε,rE⊂∪_{i=1}^∞ rE_i}
=lim_{ε→0}r^αinf{Σ_{i=0}^∞ diam(E_i)^α,diam(E_i)<ε,rE⊂∪_{i=1}^∞ rE_i}
=r^αlim_{ε→0}inf{Σ_{i=0}^∞ diam(E_i)^α,diam(E_i)<ε,rE⊂∪_{i=1}^∞ rE_i}
=r^αlim_{ε→0}inf{Σ_{i=0}^∞ diam(E_i)^α,diam(E_i)<ε,E⊂∪_{i=1}^∞ E_i}
=r^αm^*_α(E)
となるのかと推測しますが
lim_{ε→0}inf{Σ_{i=0}^∞ diam(rE_i),diam(E_i)<ε,rE⊂∪_{i=1}^∞ rE_i}
から
lim_{ε→0}inf{Σ_{i=0}^∞ r^αdiam(E_i)^α,diam(E_i)<ε,rE⊂∪_{i=1}^∞ rE_i}
は言えるのでしょうか?

(d)はFALSEですね。
反例はSierpinski triangle Sが挙げられると思います。
dimS=ln3/ln2なのでdimS<αならm_α(S)<∞で
m^*_α(S)<∞と言え,α<βならm_β(S)<∞で(∵Hausdorff次元の定義)
m^*_β(S)<∞となりm^*_β(S)=∞とはならないと思います。

吉田京子