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Newsgroups: fj.sci.math
Subject: Re:  $B3F (Bf_ $B&A$,O"B3$H$J$k (BA $B>e$N:G<e0LAj (BT
Date: Wed, 1 Oct 2008 18:53:17 -0700 (PDT)
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ご回答誠にありがとうございます。

> いや, J' ⊂ J ではないのです. 開基の濃度は (一般には
> T_α の中で濃度最大のものの可算部分集合全体の濃度で)
> J の濃度と同じであるとは限りませんから, ある添え字の
> 集合 J' についてとしか言えません.

そうでした。有限個共通部分の任意個和集合ですから
∪_{β∈J'} ∩_{s∈S'_β} s  (J'⊂J)
と書いてはまずいですね。


> J は可算集合とは限りませんから, X_1, X_2 とかいった
> 表示はちょっとまずいのですが, 気分は分かります.
> 但し, proj_{i_1}^{-1} とかは, こういう積の表示を
> するなら, 付けてはいけません.

Jは可算集合として考えておりましたが、、
通常,直積位相はたかだか可算個からなる直積集合で考えてるのでは?
非可算個からなる直積集合の直積位相の概念ってあるのでしょうか?


>  S_p = { proj_β^{-1}(U_β) ; β ∈ J, U_β ∈ T_β }
> を準開基とする位相が T_p です.

了解いたしました。


>  s_i = f_{β_i}^{-1}(U_{β_i}), U_{β_i} ∈ T_{β_i}
> であるとしたとき, f(∩_{i=1}^n s_i) とは
>  f(x) = (f_α(x))_{α∈J}
> がどんな条件を満たすものの集まりであるか, をお考え下さい.

うーん,すいません。一日中考えましたが分かりませんでした。
一番簡単な2個の共通部分で証明を試みました。
f(f_{β_1}^{-1}(U_{β_1})∩f_{β_1}^{-1}(U_{β_1}))=f(A)∩t_pというt_p∈T_pがある事を示
せばいいんですよね。
多分,f(f_{β_1}^{-1}(U_{β_1})∩f_{β_1}^{-1}
(U_{β_1}))=f(A)∩(proj_(β_1)^-1(U_{β_1})∩proj_(β_2)^-1(U_{β_2}))
という等式が成り立つ予想します。
∀x∈左辺を採ると
x=f_1(f_{β_1}^{-1}(U_{β_1})∩f_{β_1}^{-1}(U_{β_1}))×f_2(f_{β_1}^{-1}
(U_{β_1})∩f_{β_1}^{-1}(U_{β_1}))×…
…f_(β_1)(f_{β_1}^{-1}(U_{β_1})∩f_{β_1}^{-1}(U_{β_1}))×…×…
…f_(β_2)(f_{β_1}^{-1}(U_{β_1})∩f_{β_1}^{-1}(U_{β_1}))×…×…
と書け、
f_1(f_{β_1}^{-1}(U_{β_1})∩f_{β_1}^{-1}(U_{β_1}))⊂f_1(A)∩X_1,
f_2(f_{β_1}^{-1}(U_{β_1})∩f_{β_1}^{-1}(U_{β_1}))⊂f_2(A)∩X_2,
:
f_(β_1)(f_{β_1}^{-1}(U_{β_1})∩f_{β_1}^{-1}(U_{β_1}))⊂f_(β_1)
(A)∩(proj_(β_1)^-1(U_{β_1})∩proj_(β_2)^-1(U_{β_2})),
f_(β_2)(f_{β_1}^{-1}(U_{β_1})∩f_{β_1}^{-1}(U_{β_1}))⊂f_(β_2)
(A)∩(proj_(β_1)^-1(U_{β_1})∩proj_(β_2)^-1(U_{β_2})),
:
なのでx∈右辺となる。
逆にx∈右辺を採ると
x∈f_1(A)×f_2(A)×…×U_{β_1}×…×U_{β_2}×…
という具合になってますよね。それで
f_1(A)⊂f_1(f_{β_1}^{-1}(U_{β_1})∩f_{β_1}^{-1}(U_{β_1}))
f_2(A)⊂f_2(f_{β_1}^{-1}(U_{β_1})∩f_{β_1}^{-1}(U_{β_1}))
とはそう簡単には言えませんよね。
U_{β_1}⊂f_(β_1)(f_{β_1}^{-1}(U_{β_1})∩f_{β_1}^{-1}(U_{β_1}))
U_{β_2}⊂f_(β_2)(f_{β_1}^{-1}(U_{β_1})∩f_{β_1}^{-1}(U_{β_1}))
もそう簡単に言えなさそうです。

どうすれば
f(f_{β_1}^{-1}(U_{β_1})∩f_{β_1}^{-1}
(U_{β_1}))=f(A)∩(proj_(β_1)^-1(U_{β_1})∩proj_(β_2)^-1(U_{β_2}))
が示せますでしょうか?

お手数おかけしまして誠にすいません。