Chikakoと申します。いつも大変お世話になっています。
(v_1+v_2)(×)w=v_1(×)w + v_2(×)w
という等式の証明についての質問です。


Rを可換環としV,Wを自由左R加群とし,M:=span(V×W)とする。
左R加群とは線形空間のスカラーが体の元から可換環の元に変わっただけだと思います。
自由とは基底を持つという意味です。

T:=span{(x_1+x_2,y)-(x_1,y)-(x_2,y),(x,y_1+y_2)-(x,y_1)-(x,y_2),(rx,y)-
r(x,y),(x,ry)-r(x,y)}
(但し,x_1,x_2,x∈V, y_1,y_2,y∈W, r∈R,つまりTの生成元はMの元)
と定義し,

V(×_R)W:={{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v,w) (mod T)};(v,w)∈V×W}をR上のテンソル積とい
う。
V(×_R)Wは単にV(×)Wと書いたりもする。

{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v,w) (mod T)}をv(×_R)wまたは単にv(×)wと書き,(v,w)のテンソルとい
う。
つまりテンソルは類の事だと思います。

定義から
(v_1+v_2)(×)w=v_1(×)w + v_2(×)w
v(×)(w_1+w_2)=v(×)w_1 + v(×)w_2
(αv)(×)w=v(×)(αw) =α(v(×)w)

が成り立つとあったのですが
とりあえず
(v_1+v_2)(×)w⊂v_1(×)w + v_2(×)wを示してみようと思いまして
(v_1+v_2)(×)w∈V(×)Wを採ると,
(v_1+v_2)(×)w={(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_1+v_2,w) (mod T)}と書け、
∀(α,β)∈{(x,y)∈span(V×W);(x,y)≡(v_1+v_2,w) (mod T)}をとると
(α,β)-(v_1+v_2,w)∈T (∵合同の定義)
でTの定義から
(α,β)-(v_1+v_2,w)=a_1(x_1+x_2,y)-b_1(x_1,y)-c_1(x_2,y)+d_1(x,y_1+y_2)-
e_1(x,y_1)-f_1(x,y_2)+g_1(rx,y)-h_1r(x,y)+j_1(x,,ry)-k_1r(x,y)…(ア)
(但し,a_1,b_1_c_1,d_1,e_1,f_1,g_1,h_1,h_1,j_1,k_1∈R)
と言う風に一次結合で表せる。
それからどうやって
(α,β)-((v_1,w)+(v_2,w))=a_2(x_1+x_2,y)-b_2(x_1,y)-c_2(x_2,y)
+d_2(x,y_1+y_2)-e_2(x,y_1)-f_2(x,y_2)+g_2(rx,y)-h_2r(x,y)+j_2(x,,ry)-
k_2r(x,y)…(イ).
(但し,a_2,b_2_c_2,d_2,e_2,f_2,g_2,h_2,h_2,j_2,k_2∈R)

の形に持っていけるのでしょうか?(こんな方法では示せそうにないような気はするのですが)

第一式の証明だけでもご教示願えれば大変助かります。