"Yuzuru Hiraga" hiraga@slis.tsukuba.ac.jp  様

あまり物を考えることもなく（まあ、その時間も無いのですが）
思い付きで、いい加減な疑問や質問を並べ立てて、申し訳ない
ことです。  それでも御説明を読ませて戴いて、多少は通勤電車の
中などでアホウなりに考えてもみました。 コメント戴くことを期待して
今の私の考えを書いてみます。

1. 級数 Σ aj を初項からの序列的な有限和 Ar＝Σaj ; (j=1..r) の
  列に対応付けるのは、函数値の級数による近似計算などの
  実用性要求を考えれば、自然な発想と思われる。

  但し、有限和には項の置換に対する不変性があるので、
  序列的有限和との関連は必然と言う訳ではない。 実際、index
  の有限集合の包含関係に依る順序に対する収束定義*A も可能
  な筈であるが、これは序列的有限和の収束とは一致しない。

 *A：( Σ aj＝α) ≡ ∀ε＞0 ∃K：finite, ∀L⊃K （conv）
     conv≡ (L : finite → |α−Σ'aj |＜ε )  , where Σ' ≡Σ: (j∈L: finite)

2. 有限和と無限和の間を橋渡しする様な自然な関係が見い出せない。
  級数を複素数列 から 複素数 Cへの線型形式と考えて、"級数和"
  に対して、その採否は兎も角、その尤もらしい条件を考えてみる。

C1：有限個のjを除き、aj＝0 なる数列の成す空間を S0 と書くとき、
       S0に属する数列の級数和は有限和に一致する。
C2：上述Aの意味で 0 に収束する級数の空間を J と書くとき、Jに
       属する数列の級数和は 0 である。
      （２つの数列 a＝(aj) , b＝(bj) の差 a-bがJに属するならば
       両者の級数和は相等しい。)
C3：２つの数列 a＝(aj) , b＝(bj) の一方が他方に０列を部分的に
      挿入するか、除去することで他の数列と出来るとき、両者の
      級数和は相等しい。
C4：２つの数列の一方が他の数列の置換として得られるとき、両者の
      級数和は相等しい。
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  C2 があれば上記Aの意味での級数和は定義できるでしょう。 Aの
  意味で Σaj＝α  ならば  (aj−α・δj,1)＝(bj) ∈Ｊ でしょうから。

 しかし、ここから先の有り様は勝手気儘である様に思えます。
 例えば S0 に属さない 数列  e1 を見出し、e1 と C2,C3,C4 で
 述べた関係にある要素を  S0 に付加して生成される線型空間を S1
 と書くと、任意に Σe1＝β1 と定義してS1上で級数和が定義出来る
 ことでしょう。  同様に、S1 に属さない 数列 e2 を見出し、e2 と
 C2,C3,C4 で述べた関係にある要素を S1に付加して生成される
 線型空間を S2 として… として、S0,S1,S2, … の系列が出来ます。

 もう少し洗練された手法も可能でしょうが、何れにせよ、数列を有限和
 として表現する基底が取れ、これらを同値関係によって分類すれば
 級数和を定義できそうに思えます。
 類ごとに勝手な級数和の値を割り振ることが出来るでしょうから、
 このままでは級数和の定義は無定形と言わざるを得ない。
 何か、統制的な条件定義が欠けている様に思えます。


3. 無限を手なずけるには、結局収束列との関連付けが必要に思えます。
   全く当てずっぽうですが、級数の変換
        Laplace型  Σak → Σak・exp(-kx)＝A(x)
        Mellin型    Σak → Σak・k^(-x)＝a(x)
   などを考え、解析接続によって収束列との関連付けるを図ることは１つの
  方法でしょう。  だが、関係付けに選択原理も無いのが欠点です。


> =====
> で、話としてはまだ入り口段階なのですが、今は時間がないので
> 続きは別便にします。
> ただし、間に休みが入りますので、続きは 24 日以降になってしまいます。
>
> （平賀）

 楽しみにしております。