Path: ccsf.homeunix.org!ccsf.homeunix.org!news1.wakwak.com!nf1.xephion.ne.jp!onion.ish.org!news.daionet.gr.jp!news.yamada.gr.jp!news.media.kyoto-u.ac.jp!not-for-mail From: Yoshitaka Ikeda Newsgroups: fj.sci.math Subject: Re: =?ISO-2022-JP?B?GyRCO00zUT9tJE5CTkBRJEskRCQkJEYbKEI=?= Date: Sun, 30 May 2004 16:01:47 +0900 Organization: Public NNTP Service, Kyoto University, JAPAN Lines: 48 Sender: ikeda@4bn.ne.jp Message-ID: References: NNTP-Posting-Host: hkrbm175.tokyo-ip.dti.ne.jp Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=ISO-2022-JP X-Trace: caraway.media.kyoto-u.ac.jp 1085900498 18313 210.159.232.175 (30 May 2004 07:01:38 GMT) X-Complaints-To: news@news.media.kyoto-u.ac.jp NNTP-Posting-Date: Sun, 30 May 2004 07:01:38 +0000 (UTC) In-Reply-To: X-Newsreader: Datula version 1.51.09 for Windows Xref: ccsf.homeunix.org fj.sci.math:1158 kin-yさんのから >どうもはじめまして。当方はとある塾の講師をしている >者です。 >円錐の体積が円柱の1／3になる理由はわかりますが、 >四角錘の体積が四角柱の1／3になる理由が分かりません。 >初歩的な質問で申し訳ありませんが、どなたか助けて >くれるとありがたいです。 kin-yさんがどういう対象に教えているかわかりませんが、 四角錘の体積が四角柱の体積の1/3になる理由は簡単です。 たとえば、底面a,bの長方形が高さTで収束する四角錘と四角柱の体積をそれぞ れ、V1,V2とすると、 V2=a*b*T になるのは、すぐわかると思います。 V1を計算するには、底面からある高さの部分の面積を求めて、それを高さにつ いて積分してやればいいわけです。 底面からの高さtの部分の面積S(t)は、 S(t)={a(T-t)/T}*{b(T-t)/T} =a(1-t/T)*b(1-t/T) =ab(1-t/T)^2 となります。 これを0〜Tまで積分してやると、 T T V2=∫ab(1-t/T)^2 dt = ab∫{1-2t/T+(t^2)/(T^2)} dt 0 0 T =ab[t-t^2/T+(t^3)/3(T^2)] 0 =ab[{T-T^2/T+(T^3)/3(T^2)}-{0-0^2/T+(0^3)/3(T^2)}] =ab(T/3) =(1/3)abT となります。これが1/3になる理由です。 今のは長方形だったので、一般的な四角柱はそのままでは適用できませんが、 一般的な錘でも S(t)=S(0){(1^t/T)^2} が成立するので、V2=(1/3)S(0)Tになります。 つまり、1/3になる理由というのは ・相似形図形の面積は拡大率(縮小率)の2乗で効いてくる ・2乗の関数を積分すると1/3という係数が出てくる ってのが理由ではないかと。 -- Yoshitaka Ikeda mailto:ikeda@4bn.ne.jp