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From: "Tomohiro Yamada" <y64k@chive.ocn.ne.jp>
Newsgroups: fj.sci.math
Subject: Re: Answer(Re: Quiz)
Date: Tue, 16 Sep 2003 14:44:11 -0000
Organization: NTT Communications Co.(OCN)
Lines: 85
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"Tomohiro Yamada" <y64k@chive.ocn.ne.jp> wrote in message
news:bjpejl$23t$1@nn-os102.ocn.ad.jp...
> また, t^2-Du^2=-1のかわりにt^2-Du^2=1を使うと
> n^2-1の場合にも同様のことがわかります.

と書きましたが, t^2-Du^2=1の場合の証明としては
不完全なので（3|Dの場合および補題2においてrが
偶数の場合を除外していたから）その場合について
証明します.


定理.
Dを正の整数, (t, u)をt^2-Du^2=1の最小の非自明解とし,
数列t_r, u_r（r=1, 2, ...）をt_r+u_r.sqrt(D)=(t+u.sqrt(D))^r
として定義する.
このとき, u_rのすべての素因数がDの約数ならr=1である.

補題1.
p|D, s>1が奇数かつI. p≧5, II. p=3, 9|D, III. p=3, 3|uのいずれかが
成立するなら
m(p, ru)<m(p, rCs.u^s.D^{(s-1)/2}).
（ここでm(p, x)はp^e|xとなる最大のe）

証明

I. p≧5
m(p, rCs.u^s.D^{(s-1)/2})≧m(p, rCs)+bs+(s-1)/2,
m(p, rCs)≧m(p, r)-m(p, s!)>a-s/(p-1),
よって
m(p, rCs.u^s.D^{(s-1)/2})>a+bs+(s-1)/2-s/(p-1)≧a+b+(s-1)(b+1/2)-s/4
≧a+b+(s-1)/2-s/4≧a+b.

II.p=3, 9|D
m(p, D)≧2よりm(p, rCs.u^s.D^{(s-1)/2})≧m(p, rCs)+bs+s-1,
m(p, rCs)≧m(p, r)-m(p, s!)>a-s/(p-1),
よって
m(p, rCs.u^s.D^{(s-1)/2})>a+bs+s-1-s/(p-1)≧a+b+(s-1)(b+1)-s/2
≧a+b+s-1-s/2≧a+b.

III.p=3, 3|u
m(p, rCs.u^s.D^{(s-1)/2})≧m(p, rCs)+bs+(s-1)/2,
m(p, rCs)≧m(p, r)-m(p, s!)>a-s/(p-1),
3|uよりb≧1, よって
m(p, rCs.u^s.D^{(s-1)/2})>a+bs+(s-1)/2-s/(p-1)≧a+b+(s-1)(b+1/2)-s/2
≧a+b+3(s-1)/2-s/2≧a+b. （補題の証明終）

よってI. II. III.のいずれかの条件が満たされる場合は
rが奇数の場合: 元記事と同様にして定理が証明される.
rが偶数の場合: t|u_r, (t, D)=1, t>1より定理が証明される.


残るのはp=3, 3||Dかつ3がuを整除しないときのみだが,
rが偶数ならt|u_r, (t, D)=1, t>1よりu_rについて定理は明らか.
よってu_r(r: 奇数, r>1)について定理を証明する.

D_1=D/3, D'=9Dとおく.
u_r=rut^{r-1}+D(v_{r1}+...)より3|rならば3|u_r.
よってt_{3n}, u_{3n}/3はt^2-D'u^2=1の解である.
逆に(t, u)がt^2-D'u^2=1の解ならば, (t, 3u)はt^2-Du^2=1の解,
3はuを整除しないのでt^2-D'u^2=1の解は(t_{3n}, u_{3n}/3)で与えられる.

(t, u, D)=(t_3, u_3/3, D')は補題1の条件IIを満たすので
u_{3n}(n>1)については定理は正しい.

mが3で割れない奇数のとき, u_mも3で割れない. なぜならu_mが
3で割れるなら(t_m, u_m/3)はt^2-D'u^2=1の解となるが, これは
mが3で割れないことに反するからである.
p>3は補題1の条件Iを満たすので, 元記事と同様にして
u_mはD_1を割り切らない素因数を持つことが分かる. u_mは3で
割れないので, u_mはDを割り切らない素因数を持つ.

残ったu_3の場合を確かめる. u_3の素因数が常にDを割り切ると
仮定すると,
t^2=Du^2+1より(t, D)=1, u_3=3u(t^2+D_1u^2)よりt^2+D_1u^2=1,
これは明らかに矛盾である.

これによって, 定理が証明された. Q.E.D.

Tomhiro Yamada,
for the honor of the human mind
y64k@chive.ocn.ne.jp