上野です。

<bhfhhj$dsi$1@bluegill.lbm.go.jp>の記事において
toda@lbm.go.jpさんは書きました。

>> 最も哲学的で回答が厄介な「質問３」が
>> 置いてけぼりになってるようなので、
>> ちょっと考えてみます。
(略)
>> In article <2002081399805@a.ne.jp> tegra@anet.ne.jp writes:
>> >> 質問３．
>> >> 　　　なぜ、Exp^xは、微分しても積分してもそのままなのでしょうか？その意味
>> >> 　　　（？）は、どのように解釈すればよいのでしょうか？
(略)
>> 「冪乗の概念の拡張」と「微分しても積分してもそのまま」とが
>> 一致するのが当然だと思わせるような説明って何かありますかね？

f(x) の代わりに x が離散的な数列 Ax について、
微分を以下のように近似的に定義します

・微分 A' xとは、x を +1 したときに A x+1 が Ax に比べて がどれだけ増えるかを
　示したものである ; A x+1 = A x + A'x

次に A'x = A x という微分方程式を上の定義に代入すると
    Ax+1 = 2Ax ; つまり、数列の次の項では値が二倍になる
このような数列 Ax とは
    Ax = 2^x
のような冪乗である、という説明はできそうです。

＃もちろん、上の「2」は本当は「e」ですが、それは近似なので。