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From: KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com>
Newsgroups: fj.sci.math
Subject: Re: Ramanujan $B$NOB$NEy<0$N>ZL@ (B
Date: Sun, 30 Jan 2011 18:21:04 -0800 (PST)
Organization: http://groups.google.com
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ご回答誠に有難うございます。

>  = \sum_{n=1}^\infty (\sum_{d|n} d^\alpha)/n^s
>  = \sum_{n=1}^\infty \sigma_\alpha(n)/n^s
> が Re(s) > 1 かつ Re(s-\alpha) > 1 で成立します.

どうしてこの変形ができるのでしょうか?

>> (v)について
> \sum_{\ell|k} c_\ell(n) = \sum_{h=1}^k e(nh/k)

Σ_{l|k}c_l(n)=Σ_{h=1}^k exp(nh/k)の変形の所が分かりません。
Σ_{l|k}c_l(n)=Σ_{l|k}Σ_{h∈{1,2,…,n},GCD{h,n}=1}exp(2π√(-1)hl/n)から
どうしてΣ_{h=1}^k exp(nh/k)となるのでしょうか?

>  = k  (if k|n)
>    0  (otherwise)
> が理解出来ているとすれば,

すいません。ここもΣ_{h=1}^k exp(nh/k)からどうしてこれが言えるのでしょうか?

> \sum_{k=1}^\infty k^{-s} \sum_{\ell|k} c_\ell(n)
>  = \sum_{k=1}^\infty (k \times k^{-s} if k|n, 0 otherwise)

ここがわかりません。
Σ_{k=1}^∞k^-sΣ_{l|k}c_l(n)=Σ_{k=1}^∞k^-sΣ_{l|k}Σ_{h∈{1,2,…,n},GCD{h,n}
=1}exp(2π√(-1)hl/n)

(∵c_l(n)の定義)
からどうして
Σ_{k=1}^∞k・k^-s (if k|n), 0 (if otherwise)
が言えるのでしょうか?

>  = \sum_{k|n} k^{1-s}
>  = \sigma_{1-s}(n)
> となることと,

これは納得ですね。

>  一方,
> (\sum_{m=1}^\infty 1/m^s)(\sum_{\ell=1}^\infty c_\ell(n)/\ell^s)
>  = \sum_{m, \ell = 1}^\infty c_\ell(n)/(m \ell)^s
> で, m \ell = k と置けば,
>  = \sum_{k=1}^\infty (\sum_{\ell|k} c_\ell(n)/k^s)

最後の\sum_{k=1}^\infty (\sum_{\ell|k} c_\ell(n)/k^s)とできる理由が分かりません。

> となりますから,
> \zeta(s) (\sum_{\ell=1}^\infty c_\ell(n)/\ell^s)
>  = \sigma_{1-s}(n)

すいません。ここも
\zeta(s) (\sum_{\ell=1}^\infty c_\ell(n)/\ell^s)
=Σ_{n=1}^∞1/n^s(\sum_{\ell=1}^\infty c_\ell(n)/\ell^s)から
σ_{1-s}(n)とどうしてなるのでしょうか?

> であり, (1.7) が導かれます.

\zeta(s) (\sum_{\ell=1}^\infty c_\ell(n)/\ell^s)= \sigma_{1-s}(n)から
(1.7)が導かれますね。

ところで
\sum_{\ell|k} c_\ell(n) = \sum_{h=1}^k e(nh/k)と
\sum_{k=1}^\infty k^{-s} \sum_{\ell|k} c_\ell(n)= \sum_{k=1}^\infty
(k
\times k^{-s} if k|n, 0 otherwise)と
\sum_{k|n} k^{1-s}= \sigma_{1-s}(n)と
(\sum_{m=1}^\infty 1/m^s)(\sum_{\ell=1}^\infty c_\ell(n)/\ell^s)
= \sum_{k=1}^\infty (\sum_{\ell|k} c_\ell(n)/k^s)
は
\zeta(s) (\sum_{\ell=1}^\infty c_\ell(n)/\ell^s)= \sigma_{1-s}(n)に
どのように貢献しているのでしょうか?

>> (vi)について
> 順次変形して行くだけです.
> \sum_{n=1}^\infty \simga_\alpha(n) \sigma_\beta(n) / n^s
>  = \sum_{n=1}^\infty 1/n^s \sum_{f|n} f^\alpha \sum_{g|n} g^\beta
>  = \sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty \sum_{[f, g]|n}
>     f^\alpha g^\beta / n^s
> ここは, f|n, g|n となる n は [f, g]|n となる n であることを
> 用いて和の順序変更をしています.

 すいません。意味がよく分かりません。どのように順序変更しているのでしょうか?

> f g = [f, g] (f, g) ですから, [f, g] = f g / (f, g) であり,
> n/[f, g] = d とすれば, n = [f, g] d ですから,

これはそうですね。

>  = \sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty \sum_{d=1}^\infty
>     f^\alpha g^\beta / ([f, g] d)^s

すいません。
Σ_{f=1}^∞Σ_{g=1}Σ_{LCM{f,g}|n}f^αg^α/n^s
=Σ_{f=1}^∞Σ_{g=1}Σ_{n/LCM{f,g}=1}f^αg^α/n^s
の変形はどうしてできるのでしょうか?

>  = \sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty \sum_{d=1}^\infty
>     f^{\alpha - s} g^{\beta - s} (f, g)^s / d^s
>  = (\sum_{d=1}^\infty 1/d^s) \times
>    (\sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty f^{\alpha-s} g^{\beta-s} (f, g)^s)

はい。

> となりますね. (1.11) を用いて, (f, g)^s を
> \sum_{d|(f,g)} \phi_s(d) に置き換えれば,

Σ_{d|n}φ_s(d)=n^sですよね。
これからどうしてGCD{f,g}^s=Σ_{d|GCD{f,g}}d^sΠ_{p|n}(1-p^-s)が言えるのでしょうか?

それとΣ_{d=1}1/d^s=Σ_{n=1}1/n^sが成り立つのはどうしてでしょうか?

>  = \zeta(s) \times
>    \sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty f^{\alpha-s} g^{\beta-s} \times
>    (\sum_{d|(f, g)} \phi_s(d))
> f = d f', g = d g' とすれば,
>  = \zeta(s) \times
>    \sum_{d=1}^\infty \sum_{f'=1}^\infty \sum_{g'=1}^\infty
>    (d f')^{\alpha-s} (d g')^{\beta-s} \phi_s(d)

ここで\sum_{d=1}^\inftyの部分が突然現れてきているのは何故なのでしょうか?

>  = \zeta(s) \times
>    (\sum_{f'=1}^\infty f'^{\alpha-s})(\sum_{g'=1}^\infty g'^{\beta-s})
>    \times (\sum_{d=1}^\infty \phi_s(d) d^{\alpha+\beta-2s})

すいません。この変形もどうしてなのでしょうか?

>  = \zeta(s) \zeta(s-\alpha) \zeta(s-\beta) \times
>    \sum_{d=1}^\infty d^s \prod_{p|d} (1 - p^{-s}) d^{\alpha+\beta-2s}
>  = \zeta(s) \zeta(s-\alpha) \zeta(s-\beta) \times
>    \sum_{d=1}^\infty \prod_{p|d} ((1 - p^{-s}) p^{e(d,p)(\alpha+\beta-s))
> となります, ここで p は prime を表し,
> d = \prod_{p|d} p^{e(d, p)} で, e(d, p) を決めました.

すいません。e(d,p)の記号の意味がいまいち把握できません。