ご回答大変ありがとうございます。

> aba = a となる b が unique であることが重要です.
> a(b + a')a = aba + aa'a = a + 0a = a であり,
> a' ≠ 0 とすると b ≠ b + a' で矛盾します.

納得です。ありがとう誤差います。

>> (2)についてはbab=babab(∵a=aba). よってbab(1-ab)=0(∵分配法則). よって,1-ab=0(∵a≠0,b≠0で(1)よりbab≠0). よってab=1. bab=b・1=b.
> いや, 1 がなければ, bab = bab・1 とは書けません. 論点先取です.
> 1 の存在は仮定されていない ((3) で示すことが求められている)
> ので, これでは証明になりません.

そうですね。失礼いたしました。


> a(bab)a = (aba)ba = aba = a ですから, uniqueness より
> bab = b です.

これもありがとうございます。納得です。

>> (3)については(2)での議論より,1∈Rが存在することが分かった。
> 先に述べた通り, きちんと示す必要があります.
> a ≠ 0 なる a について aba = a となる b を取り,
> ab が 1 としての性質を満たすことを示すのでしょうね.
> つまり, 任意の c について abc = cab = c. c ≠ 0 としても
> 良いでしょう.
> abc に対して, d で abcdabc = abc となるものをとると,
> abab = ab ですから, abcdababc = abc で, dab = d です.
> abc = abcdabc = abcdc より ab(c - cdc) = 0 であり,
> cdc = c ですが, (2) より dcd = c, 一方,

ここでdcd=cとどうしてなるのか分かりませんでした。何故cdc = cと(2)からdcd=cが言えるのでしょうか?

> abc = d(abc)d = (dab)cd = dcd = c となります.
> cab = c も示せるでしょうね.

はい,dcd=cさえ言えれば。

>> (4)については斜体をなす事を示せという問題でしょうか?
> そうですね.
>> これも(2)より,a≠0,b≠0なるa,b∈Rに対してはab=1と書けたのでaとbは単元。
>>  よってRは斜体。
> ab が 1 としての性質を満たすことを示せたら, 後は
> ba = ab となることを示せば良いでしょう.

(3)において,今度はbac∈Rについて議論すればba=1が得られますのでab=ba=1が言えますよね。

> そうそう, Subject: ですが, 普通, 整域というのは
> 可換環について言う言葉です. division ring,
> 或いは斜体であることを示すのですね.

ありがとうございます。参考になります。