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From: kyokoyoshida123@gmail.com
Newsgroups: fj.sci.math
Subject: Re: f:R^2 $B"* (B[- $B!g (B, $B!g (B] $B$N;~ (B, $B"i (B_{R^2} 
	f(x)dx= $B"i (B_0^{2 $B&P (B}( $B"i (B_0^ $B!g (B f(rcos( $B&U (B),rsin( $B&U 
	(B))dr)d $B&U$r<($; (B
Date: Thu, 12 Mar 2009 19:20:04 -0700 (PDT)
Organization: http://groups.google.com
Lines: 25
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ご回答大変ありがとうございます。

> S^1 に座標 φ を入れて, S^1 を [0, 2π) に置き換え,
> 点 γ を座標 φ に置き換え, S^1 上の関数 f を
：
> まあ, S^1 を [0, 2π) と同一視するとき,

http://www.geocities.jp/narunarunarunaru/study/unit_circl_20090312.jpg
とすれば
∠(OA,γ)=(弧Aγの長さ)=(扇形OAγ)=φ
なので同一視できるという訳ですね。
厳密にすれば
σ:{E;Eは線分OAからの弧の長さ}→[0,2π);σ(E):=φ(:Eを端点のする扇形の面積)と書け,
σの定義域は長さ,γはベクトルで
g:S→[0,2π);S∋∀γ|→g(γ):=∠(OA,γ)(=φ)とするとgは全単射
よってσ(g(γ))=σ(∠(OA,γ))=σ(E_{∠(OA,γ)})=σ(E_φ)=φと書ける。
g(γ)とE_{∠(OA,γ)}を同一視して,σ:=σg(γ)と置く。
従って
∫_0^{2π} (∫_0^∞ f(rcosφ,rsinφ) r dr) dσ(g(γ))
=∫_0^{2π} (∫_0^∞ f(rcosφ,rsinφ) r dr) dσ(E_{∠(OA,γ)})
=∫_0^{2π} (∫_0^∞ f(rcosφ,rsinφ) r dr) dφ
となるのですね。
よって(9)の公式は厳密には
∫_{R^d} f(x) dx = ∫_{S^{d-1}}(∫_0^∞ f(rγ) r^{d-1} dr) dσ(g(γ))
と書かれるべきなのですね。