いつもお世話になっております。

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/p241.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/p243.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/p245.jpg
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/p247.jpg

p241から解いていってのp244のGaussian Prime Theoremの必要性([Prop175(NT by
Silverman,p244(Gaussian prime theorem))])
が証明できずに困っています。
p245のGaussian Divisibility Lemmaは下記のとおり何とか証明できました。

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/gauss_prime0.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/gauss_prime1.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/gauss_prime2.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/gauss_prime3.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/gauss_prime4.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/gauss_prime5.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/gauss_prime6.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/gauss_prime7.JPG

[Prop175(NT by Silverman,p244(Gaussian prime theorem))]では
∀α∈Pを採った時にもしp=2で割れたら(i)のタイプのGaussian primeという事になる事を分かりました。

その後,p≡3(mod 4)(但し,pは素数)の時,p|αならそのαは(ii)のタイプと主張しているのでしょうか?

そして最後にp≡1(mod 4)の時は∃u,v∈Z;p=u^2+v^2でu+vi|α∨u-vi|αでこのαは(iii)のタイプと主張してるので
しょうか?

でもこの3タイプ以外のαが無い事は示していないように感じます。

いまいちGaussian Prime Theoremの必要性の証明の手順が飲み込みません。

一体どのような手順になっているのでしょうか?

吉田京子