ご回答大変ありがとうございます。


>> 『　点x∈R^d＼{0}の極座標は組(r,γ)
>> 但し,0<r<∞である.そしてγは単位球S^{d^1}={x∈R^d,|x|=1}に属する。
：
>> μ_1(r)=r^{d-1}μ_1/dと書いてもいいのでしょうか?
> それとは違います.

ありがとうございます。大変恐縮です。
「つまり, μ_1(E) = ∫_E r^{d-1} dr と定義するわけである.」で納得できました。

>  μ_1(E) = ∫_0^∞ χ_E(r) dμ_1(r) = ∫_E r^{d-1} dr
> だと書いてあるではありませんか.

すいません。大変失礼いたしました。

>> どう計算できるのか分かりません。
> E_n = (0, n) とすれば, μ_1(E_n) = ∫_0^n r^{d-1} dr です.

増加集合列が採れましたね。簡単でしたね。


>> 続いて,,
>> (X_2,M_2,μ_2)ではM_2を
>> 曲面Eがルベーグ可測な時,E~はルベーグ可測集合になり
>> それらの集まりをM_2と定義しています。
> 違います. E~ が Lebesgue 可測集合の時, E ∈ M_2 とする
> のです.

そうですね。


>> S^{d-1}上に空集合以外でルベーグ可測集合が存在する事は
> S^{d-1} 上の測度を今まで考えてきましたか?

はい。


>> S^{d-1}はR^{d-1}∪{∞}と同相でR^{d-1}∪{∞}上には勿論,
>> 通常通り開集合が定義できますからS^{d-1}上にも開集合の存在が認められ,
>> よってルベーグ可測集合が存在する。
> S^{d-1} は R^d の部分位相空間としての位相を持っています.
> 従って, S^{d-1} のボレル集合というものは定まっていますが,
> そこに測度を入れない限り, 可測集合というのは定まりません.

上述の詳細なご説明で理解できました。


> 以下は話が逆なので少し飛ばします.
>> 「(Ω,Σ,λ)がルベーグ空間で
> ルベーグ空間とは?

ルベーグ集合体とルベーグ測度で定められた空間の事です。


>> あと,(X_2,M_2,μ_2)がσ有限になる理由が分かりません。
>> X_2への単調増加有限可測集合列をどのように採れますでしょうか?
> μ_2(X_2) = d m((X_2)~) = d m(B^d) < ∞ ですから,
> (X_2, M_2, μ_2) は有限測度空間です.

納得できました。

>> その時,開集合はどのように定義できますでしょうか?
> p ∈ S^{d-1}, ε > 0 に対して
> U_ε(p) = { q ∈ S^{d-1} | |q - p| < ε }
> を開基とすれば良い.

そうですね。明確です。


>> 通常のやり方だと,「Eが開集合 (⇔def)
>>  Eの任意の点はEに含まれる近傍を持つ」となり,
>> どうあがいてもEの点の近傍はR^d次元の集合です
>> からEに収まるはずはありませんよね。
> R^d の部分位相空間としての位相を入れるので,
> R^d の開集合と S^{d-1} の交わりが S^{d-1} の
> 開集合です.

ありがとうございます。これは参考になります。


>> という事は|γ-γ'|は曲面^{d-1}上でγとγ'とを結ぶ最短距離
>> (曲面上での2点間の最短距離の定義は?と聞かれると返答に窮しますが)
>> と考えていいのでしょうか?
> それは又別の話です. 勿論, |γ-γ'| を γ と γ' の距離
> としたわけですが, γ と γ' とを結ぶ連続曲線 C の長さ L(C) は,
> C 上の分点を取っての分点間の距離の和の上限として定義します.

ここで微分積分の概念を使うのですね。

> そのとき, γ と γ' とを結ぶ連続曲線の長さの下限で
> γ と γ' との距離を定義し直すと, それは |γ-γ'| とは
> 一致しません.

それはそうでしょうね。|γ-γ'|の方は直線ですからね。