Path: news.ccsf.jp!tomockey.ddo.jp!border3.nntp.dca.giganews.com!border1.nntp.dca.giganews.com!nntp.giganews.com!postnews.google.com!l17g2000yqe.googlegroups.com!not-for-mail From: KyokoYoshida Newsgroups: fj.sci.math Subject: Re: $B9gF1<0 (B x^2 $B"a (B-1 (mod 5^k) $B$N2r$r5a$a$h (B Date: Thu, 18 Nov 2010 18:44:40 -0800 (PST) Organization: http://groups.google.com Lines: 105 Message-ID: <9d95d9d5-513c-40b8-bfed-7ac34d3b73f5@l17g2000yqe.googlegroups.com> References: <322ad3d1-5b94-4117-9968-31a2ae869430@c13g2000vbr.googlegroups.com> <100910190524.M0124102@ras2.kit.ac.jp> <3415d585-0678-4bac-824e-5b07f159c838@b34g2000yqm.googlegroups.com> <100927172650.M0206377@ras2.kit.ac.jp> <101012174820.M0104817@ras2.kit.ac.jp> <101108173037.M0101714@ras2.kit.ac.jp> <97bfb3f3-3313-46bc-982e-bb18c1dd7a04@n10g2000prj.googlegroups.com> <101115192533.M0129369@ras1.kit.ac.jp> <12d7a423-e458-49bf-9b06-006ff73fd616@q36g2000vbi.googlegroups.com> <101117005934.M0128943@ras1.kit.ac.jp> <4eedf425-d99a-4a77-8552-7eca54216646@f20g2000vbc.googlegroups.com> <101117181018.M0121750@ras2.kit.ac.jp> NNTP-Posting-Host: 24.193.100.20 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=ISO-2022-JP Content-Transfer-Encoding: 7bit X-Trace: posting.google.com 1290134680 3526 127.0.0.1 (19 Nov 2010 02:44:40 GMT) X-Complaints-To: groups-abuse@google.com NNTP-Posting-Date: Fri, 19 Nov 2010 02:44:40 +0000 (UTC) Complaints-To: groups-abuse@google.com Injection-Info: l17g2000yqe.googlegroups.com; posting-host=24.193.100.20; posting-account=WW-P-goAAADS1u9yskwAcJfIST-zvGgd User-Agent: G2/1.0 X-HTTP-UserAgent: Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 6.0; Windows NT 5.1; SV1),gzip(gfe) Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:3184 ご回答誠に有難うございます。 >> でも問はx^2≡-1(mod 5^k)の解を一つ見つけよですから >> x_k=x_0+5x_1+5^2x_2+5^3x_3+ \cdots +5^{k-1}x^{k-1} > だから, 右辺に x_i を使うなら, 左辺は b_k にしないと > 意味を成しません. ここがどうしても分かりません。 左辺はx_kとしてこれはx_k:=x_0+5x_1+5^2x_2+5^3x_3+ \cdots +5^{k-1}x^{k-1}と置く事によっ て, x^2≡-1(mod 5^k)を満たすよという事を示すために置いているだけです。 意味を成さないとはどういうことでしょうか??? > b_k = x_0 + 5 x_1 + 5^2 x_2 + \cdots + 5^{k-1} x_{k-1} > です. うーん,b_kとx_kの違いは何なのでしょうか? >> でx_1,x_2,\dots,5^{k-1}らが0,1,2,3,4でなくても >> (0,1,2,3,4以外だと確かに5進表示にはなりませんが) >> 問は5進表示で表せとは言ってなく, >> 取りあえずx_0+5x_1+5^2x_2+5^3x_3+\cdots+5^{k-1}x^{k-1} >> と一つ解を見つけたからいいのではないでしょうか? > 5 進表示となるようにしておけば, > x^2 ≡ -1 (mod 5^k) となる数 x = b_k が > 0 ≦ b_k < 5^k の範囲に取れることが分かり, 更に, > 5 進展開での 1 桁目 x_0 が 2 であって 0 ≦ x < 5^k にある > x^2 ≡ -1 (mod 5^k) となる数としては, > b_k がただ一つのものであることも, > 少しの考察で分かることになります. なるほど。 >> うーん,それともx_1,x_2,\dots,5^{k-1}らが0,1,2,3,4でないなら >> x_kの解を具体的(一意的)には表した事にはならないから >> 解を一つ見つけた事はならないという事でしょうか? > 一つ見つければ良いとは言いながら, やはり > きれいな見つけ方をしないと先に進めません. なるほど。そうでしたか。そのような意図があられたのですね。 > 山本芳彦著「岩波講座 現代数学への入門 数論入門１」岩波書店の > 第５章ディリクレ指標の第５節ヘンゼルの補題 > (a) Z/p^kZ におけるヘンゼルの補題の最後, p. 139 にある > k と x_{k-1} と b_k と (b_k)^2 + 1 のきれいな表を御覧なさい. > この表の美しさの元は, x_{k-1} の取り方が > 0 ≦ x_{k-1} < 5 を満たすようになされているところにあります. > x_0 = 3 とするとどうなるか, はお考え下さい. ちょっと考えて見ます。 >> また手直ししました。 >>http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_... >>http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_... >> 確認しましたので今度こそ大丈夫かと思います。 > 【２】は全然直っていないではないですか. > 私が採点するなら, 二行目で零点を付けて御仕舞にします. 5進法で表すとしたら【2】の所でx_0+5x_1+5^2x_2+5^3x_3+…+5^{k-1}x_{k-1}の各x_0,x_1, …,x_{k_1}なのに x_kが0≦x_k<5の範囲に入っていないとx_{k+1}はx_k=x_0+5x_1+5^2x_2+5^3x_3+…+5^{k-1} x_{k-1}+5^kx_kのx_{k+1}は全く5進数になってませんね。 なのでb_kという文字を使わなければならないのですね。 > # 一行目も英文としては意味不明だから, > # そこで御仕舞にしても良いかも知れない. 一行目は任意のkに対して必ずx^2≡-1(mod 5^{k+1})の解が存在する事を保証して それでは実際に具体的に解を求めていきましょう。 という意味の宣言みたいなもので書いたのですが,,, > 左辺に x_k を用いて, 右辺では \ell_i を使い, > k は 1 から, i は 0 から始めるなら, > > x_1 = \ell_0, > x_2 = \ell_0 + 5 \ell_1 > x_3 = \ell_0 + 5 \ell_1 + 5^2 \ell_2 > ............ > > と進んで行きます. だから, > x_1 = 2 = \ell_0 だと申し上げたのです. > 「 x_1 = 2 + 5 \ell_0 」で「 \ell = 0 」というのは > 全くの誤りです. 分かりかけてきました。 > > x_k = x_{k-1} + 5^{k-1} \ell_{k-1} という式が > k = 1 でも成立するようにしたいのなら, > x_1 = x_0 + 5^0 \ell_0 = x_0 + \ell_0 ですから, > x_0 = 0 と決めておくしかないです. > > > えっ? つまり,2x_kは法5に関して可逆ではないのでしょうか? > > "invertible" というのは「可逆」ということですよ. > 貴方は逆に理解されているようです. すいません。了解いたしました。 http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_vol9.JPG http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/example5_39_vol10.JPG でOKだと思います。 ただ???の箇所が分かりませんでした。ここの理由は何といえますでしょうか?