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From: KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com>
Newsgroups: fj.sci.math
Subject: Re:  $B&F4X?t$,Mm$s$@Ey<0$N>ZL@ (B
Date: Fri, 21 Jan 2011 15:09:07 -0800 (PST)
Organization: http://groups.google.com
Lines: 60
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ご回答誠に有難うございます。

>>> (i) の M\"obius function M\"ob(n) に付随する
>>> Dirichlet 級数 \sum_{n=1}^\infty M\"ob(n)/n^s が
>>> \prod_{p: prime}(1 - 1/p^s) となることは簡単です.
>>> 後者を展開して出てくるのは, (-1)^k/(p_1 p_2 \cdots p_k)^s
>>> の形(但し, p_i らは相異なる素数)のものだけで,
>> えーとこれは
>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/formula1913.JPG
>> という具合になるという事でしょうか?
> 等式の並ぶ順番が変ですね.

えっ? と言いますと。。とりあえず計算してみましたが
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/formula1541.JPG
どうしてもΣ_{n=1}^∞ M\"ob(n)/n^s=Π_{p∈P}(1-1/p^s)となる事が分かりません。

>> ??の箇所はどのように理由付けできますでしょうか?
> (\zeta(s))^{-1} = \prod_{p: prime} (1 - 1/p^s)
> は良いですね.

はい,これはζ関数の定義から直ぐに言えますね。

> prime p を小さい方から番号付けておけば,
> = \proc_{i=1}^\infty (1 - 1/(p_i)^s)
> も当たり前.

はい。

> = (1 - 1/(p_1)^s)(1 - 1/(p_2)^s)(1 - 1/(p_3)^s) \cdots
> の展開が分からないのは困ります.
> 各項から 1 ばかりを選んで掛けると 1,
> どれか一つの項から 1 でない方を選んで掛けると (-1)/(p_i)^s
：
> 対応しているわけです.

ここもとりあえず
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/formula1541.JPG
のように左から順に展開していきましたら
(1-1/p_1^s-1/p_2^s-1/p_4^s+1/(p_1p_2)^s+1/(p_1p_4)^s+1/(p_2p_4)^s-1/
(p_1p_2p_3)^s-1/(p_1p_2p_4)^s+1/(p_1p_2p_3p_4)^s)(1-1/p_5^s)…
とただえんえんと続いていくだけですが、、、
それに引き算や足し算が取れて
(-1)^1/p_1^s (-1)^2/(p_1p_2)^s (-1)^3/(p_1p_2p_3)^s…
という風に積の形だけなる理由が分かりません。

> 何故 Euler 積表示が Dirichlet 級数 \sum_{n=1}^\infty 1/n^s
> と一致するのか, をちゃんと理解しておく必要があります.

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/formula1719.JPG
という風に証明を試みたのですがここからどうすればいいのでしょうか?
あと,負の項らはどのように処理すればいいのでしょうか?

>> Σ_{p∈P}Σ_{r=1}^∞(ln p)(p^s)^{r-1}
>> =Σ_{p∈P}Σ_{r=1}^∞(VM(p^r)(p^s)^{i-1}
>> から
：
> = \sum_{p: prime} \sum_{r=1}^\infty VM(p^r)/(p^r)^s
> です.

有難うございます。お陰様で漸く解決できました。