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From: eurms@apionet.or.jp (M_SHIRAISHI)
Newsgroups: fj.sci.math
Subject: Re: =?ISO-2022-JP?Q?=1B$B@dBP<}B+$9$k5i=3Ft$O<}B+$9$k=1B(B?=
Date: 21 Nov 2004 08:42:27 -0800
Organization: http://groups.google.com
Lines: 25
Message-ID: <800c7853.0411210842.4fe86b62@posting.google.com>
References: <4191B981.1000703@slis.tsukuba.ac.jp>
NNTP-Posting-Host: 220.97.239.184
Content-Type: text/plain; charset=ISO-2022-JP
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X-Trace: posting.google.com 1101055348 8849 127.0.0.1 (21 Nov 2004 16:42:28 GMT)
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NNTP-Posting-Date: Sun, 21 Nov 2004 16:42:28 +0000 (UTC)
Xref: ccsf.homeunix.org fj.sci.math:1429

Yuzuru Hiraga <hiraga@slis.tsukuba.ac.jp> wrote in message news:<4191B981.1000703@slis.tsukuba.ac.jp>...
> 先日授業の演習で：
> 　「級数 Σ|a_n| が収束するなら Σa_n も収束することを示せ」
> という問題をやったのですが

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んな≪たわいもないこと≫に時間を費やすなよ、なっ！

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帰謬法を使っても「簡単に」証明できるが、

次の方法が、多分、最も簡単だろう：−

?[k=1,n]{a(k)}＝S(n),

?[k=1,n]{|a(k)|}＝Z(n)  とおく。

m＜n ならば、

|S(n)−S(m)|＝|?[k=m+1,n]{a(k)}|≦?[k=m+1,n]|{a(k)}|＝|Z(n)−Z(m)|

よって、数列の収束に関してのコーシーの判定法により、
Z(n)が収束するのであれば、S(n)も収束する．■