X-Received: by 10.129.55.16 with SMTP id e16mr6577540ywa.44.1457694850792; Fri, 11 Mar 2016 03:14:10 -0800 (PST) X-Received: by 10.182.246.231 with SMTP id xz7mr101741obc.5.1457694850733; Fri, 11 Mar 2016 03:14:10 -0800 (PST) Path: news.ccsf.jp!tomockey.ddo.jp!usenet.blueworldhosting.com!feeder01.blueworldhosting.com!peer01.iad.highwinds-media.com!news.highwinds-media.com!feed-me.highwinds-media.com!w104no6105634qge.1!news-out.google.com!k1ni15359igd.0!nntp.google.com!av4no44937igc.0!postnews.google.com!glegroupsg2000goo.googlegroups.com!not-for-mail Newsgroups: fj.sci.math Date: Fri, 11 Mar 2016 03:14:10 -0800 (PST) In-Reply-To: Complaints-To: groups-abuse@google.com Injection-Info: glegroupsg2000goo.googlegroups.com; posting-host=133.16.216.36; posting-account=vqDRSAoAAAC6TG7fw5Br3gMzzlpRlKaf NNTP-Posting-Host: 133.16.216.36 References: <17b9e435-a3c7-42db-a3b1-9dc2e43a1ce4@googlegroups.com> <784fa791-b878-4ce1-bc3e-977e23e85f37@googlegroups.com> <43730c9c-98f2-4fb8-aecc-c9c126153823@googlegroups.com> <8d451cb0-8da7-4bae-86bb-4b060de03052@googlegroups.com> <08ce7704-e1bb-46a1-a015-4d8940085f93@googlegroups.com> <543c9bc4-9607-47b2-aff5-60887bc131a3@googlegroups.com> <668fe7a3-bead-466d-b965-b3840101c816@googlegroups.com> User-Agent: G2/1.0 MIME-Version: 1.0 Message-ID: <792adb36-58bd-4b2b-af50-9239ef66299e@googlegroups.com> Subject: =?ISO-2022-JP?B?UmU6IDMbJEIhXxsoQjMbJEJANUNNJSglayVfITwlSDlUTnMkTkA1Q01ALRsoQg==?= From: chiaki@kit.jp Injection-Date: Fri, 11 Mar 2016 11:14:10 +0000 Content-Type: text/plain; charset=ISO-2022-JP Content-Transfer-Encoding: 7bit X-Received-Bytes: 6174 X-Received-Body-CRC: 611383692 Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:3983 工繊大の塚本です. 2016年2月24日水曜日 20時32分22秒 UTC+9 Kyoko Yoshida: > あれからグラスマン積についてhttp://www.rainbowseeker.jp/xoops/modules/newbb/viewtopic.php?topic_id=401&forum=12&post_id=2970&noreadjump=1 > や 余り参考になることは書かれていないように思います. > 第 6 回 ベクトル代数 - TOKYO TECH OCW > といったサイトで調べてみました。 こちらは東工大が講義録を公開しているものの中の「材料数理科学」の ものでしょうか. > グラスマン積は交代積とも呼ばれるのですね。 基底を固定して, 外積を { n \choose p }-次元の数ベクトルとして表し, Grassman 積と呼ぶのは, 一部での習慣でしょう. ベクトル空間の外積を交代なテンソル積と考えるときに 外積を交対積と呼ぶこともまああるでしょう. > 山本哲朗氏の著書ではグラスマン積はnCp次の列ベクトルになってますが, > サイトでは(3次の場合) > Alt(a,b):= > 0, a_1b_2-a_2b_1,a_1b_3-a_3b_1 > -(a_1b_2-a_2b_1),0,a_2b_3-a_3b_2 > -(a_1b_3-a_3b_1),-(a_2b_3-a_3b_2),0 > という3×3行列になってるのですがこれはどう解釈したらいいのでしょうか? ベクトル空間 V に内積が入っていて, V とその双対ベクトル空間 V^* とを同一視できるとき, V \otimes V と V \otimes V^* を同一視することができます. V = R^3 なら, u \in R^3 に対して {}^t u \in (R^3)^* が対応しますから, u \otimes v には u \otimes {}^t v が, また, u {}^t v という行列が 対応します. # V \otimes V^* は Hom(V, V) と同型です. u_1, u_2, \dots, u_p に対して, その外積 u_1 \wedge u_2 \wedge \cdots \wedge u_p を交代テンソルとして 考えることは, \sum_{\sigma \in S_p} \sgn(p) u_{\sigma(1)} \otimes u_{\sigma(2)} \otimes \cdots \otimes u_{\sigma(p)} を対応させることですから, u \wedge v = u \otimes v - v \otimes u であり, = u {}^t v - v {}^t u を作ることです. > 3次のグラスマン積の定義は著書では, > Grs(a,b):=(a_1b_2-b_1a_2,a_1b_3-b_1a_3,a_2b_3-b_2a_3)∈F^3 > という3次元ベクトルですよね? 3 次の交代行列全体は 3 次元のベクトル空間であり, 上の対応を保つ同型が存在します. > あと,グラスマン積とベクトル積との違いですが, > ベクトル積とはグラスマン積の特別な場合で, > p:=n-1の時且つ下(第n成分)から符号が+,-,+,-,…と交互になっているものの事ですね? n = 3 の場合でなければ, 普通ベクトル積は考えません. 因みに, 「符号が」「交互」というのは, 1-vector u と (n-1)-vector \alpha の外積 u \wedge \alpha が 標準的な n-vector \omega の k 倍であるとき, 即ち, u \wedge \alpha = k \omega のとき, \alpha(u) = k として, \alpha を V^* の元と考えて, 更に, V と V^* とを同一視して, (n-1)個のベクトルの外積に 一つのベクトルを対応させるということであれば, 基底をとって考えるのでも, 順序を逆にする必要があるでしょう. > 4次の場合だと > Vct(a,b,c):=diag((-1)^{4-1},(-1)^{3-1},(-1)^{2-1},(-1)^{1-1},)Grs(a,b,c)と > 書けるのですね? 山本さんの定義で a \wedge b \wedge c が 順に \Delta_1, \Delta_2, \Delta_3, \Delta_4 の成分を持つとき, (\times(a, b, c), d) = \det(a, b, c, d) とするには, = \Delta_4 d_1 - \Delta_3 d_2 + \Delta_2 d_3 - \Delta_1 d4 ですから, \times(a, b, c) の成分は 順に \Delta_4, - \Delta_3, \Delta_2, - \Delta_1 とする必要があります. だから, 貴方の式は違います. > 最後に外積とはグラスマン積やベクトル積とも異なる概念で,3次の場合の外積とは > Ext(a,b):= > 0, a_1b_2-a_2b_1,-(a_1b_3-a_3b_1) > -(a_1b_2-a_2b_1),0,a_2b_3-a_3b_2 > a_1b_3-a_3b_1,-(a_2b_3-a_3b_2),0 > という3×3行列の事だと解釈したのですがこれで宜しいでしょうか? だから, それも違います. -- 塚本千秋@基盤科学系.京都工芸繊維大学 Tsukamoto, C. : chiaki@kit.ac.jp