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Date: Fri, 10 Oct 2008 22:19:39 -0700 (PDT)
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線形代数の直和分解の問題で質問です
たびたびすいません。

「V = V_0 + V_p + V_n という直和分解で、∀v∈V_0 (<v,v> = 0 ),
∀v∈V_p (v ≠ 0 → <v,v> > 0 ), ∀v∈V_n (<v,v> < 0 )
を満たすものがあることを示せ」

という問題です。

原文は下記の通りです。

Let V be a finite dimensinal space over R,and let <,> be a scalar
product on
V.
Show that V admits a direct sum decomposition. V=V_p(+)V_n(+)V_0,
where V_0:={v∈V;∀w∈V,<v,w>=0},and where the product is positive
definite
 on V_p,negative definete on V_n.

(This means that <v,v>>0 for all v∈V_p,v≠0,
<v,v><0 for all v∈V_n,v≠0.)

(+)は直和の記号です。scalar productの定義は
(i) <v,w>=<w,v>, (ii) <u,v+w>=<u,v>=<u,w>,  (iii) <cu,v>=c<u,v> 且つ
<u,cv>=c<u,v> です。
positive difiniteの定義は
「if <v,v>≧0 for all v∈V,and <v,v>>0 if v≠0」と記載されてます。


示す事は
V=V_0(+)V_p(+)V_nです。
それぞれが線形部分空間である事とそれぞれの共通部分が{0}となる事と
V⊂V_0(+)V_p(+)V_n
を言えばいいのだと思います。

V_pは<v,v>>0の性質を持つVの規定の部分集合で生成されるらしいのです。
そしてSlyvester'sの定理
「Let V be a finite dimensional vecor space over R,with a scalar
product.
There exists an interger r≧0 having the following property.
If {v_1,v_2,…,v_n} is an orthogonal basis of V,
then there are precisely r integers i such that <v_i,v_i>>0」
を使えば簡単らしいのですが…。

V_0は{v∈V;∀w∈V,<v,w>=0}という集合で,
v,u∈V_0を採ると<v+u,w>=<v,w>+<u,w>=0+0=0.
c∈Rを採ると<cv,w>=c<v,w>=c・0=0.
でV_0が線形部分空間である事は示せましたが

V_pとV_nがどんな集合か分からないのでまず線形部分空間である事が示せずにいます。
上記の文意から
V_p:={v∈V;もしv≠0なら<v,v>>0}
V_n:={v∈V;もしv≠0なら<v,v><0}
や
V_p:={v∈V;<v,v>≧0,もしv≠0なら<v,v>>0}
V_n:={v∈V;<v,v>≦0,もしv≠0なら<v,v><0}
という集合かと思ったのですがどうも違うようなのです。

それぞれ
V_p:={???}
V_n:={???}
どのように書けますでしょうか?


ちかこ