お世話になります。岩城と申します。
初めて投稿します。

可測関数に関して、どう証明すればよいのかわからない命題が出てきたので質問します。

証明したい命題は以下です。
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可測空間を（Ω、F）とし、ある可測関数X：Ω→R（∀ｘ∈R（{ω∈Ω｜X（ω）≦ｘ｝∈Fが成り立つ。）があるとする。
さらに、その可測関数Xの逆関数Y：R→P(Ω)を
Y（ｘ）＝｛ω∈Ω｜X（ω）＝ｘ｝
とする。
このとき、
∀ｘ∈R　Y（ｘ）∈F
が常に成り立つかどうか示せ。
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｛ω∈Ω｜X（ω）＜ｘ｝＝U^{∞}_i=1｛ω∈Ω｜X（ω）≦ｘ−１／ｉ｝∈Ｆ
より
｛ω∈Ω｜Ｘ（ω）≦ｘ｝−｛ω｜Ω｜Ｘ（ω）＜ｘ｝∈Ｆ
という感じでできればいいと思ったのですが、集合差を取ったものがＦに属すことが言えず、どうすればいいのかわからなくなりました。

なにか、別な方法等ありますでしょうか。

よろしくお願いいたします。

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IWAKI Hidekazu
e-mail: i.hidekazu at gmail.com
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