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Date: Wed, 6 May 2009 15:40:07 -0700 (PDT)
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いつも大変お世話になっております。

Let G be the subgroup generated by the permutations σ=(26)(35) and τ=
(13)(45) of the symmetric group S_6.
(a) Is G a subgroup of the alternating group A_6?
(b) Determine the order of the elements β=στ.
(c) Is the subgroup <β> normal in A_6?
(d) Determine the number and size of the right cosets of <β> in S_6.

という問題です。
(a)については
巡回置換の積στは
1 2 3 4 5 6
↓
5 6 1 3 4 2
と写すので,(1 5 4 3)(1 6)という巡回置換の積になろうかと思います。
これは(26)(54)(53)(15)という偶数個の互換の積になり,交代置換になりました。
これにτを施すと(26)(54)(53)(15)に2つの互換(26),(35)が付け加わるだけなので,やはり偶数個の互換の積。
σを施しても同様に偶数個の互換の積。よって巡回群<σ,τ>は交代置換となっているので<σ,τ>⊂A_6で<σ,τ>≦A_6.


(b)については
1 2 3 4 5 6
↓β
5 6 1 3 4 2
↓β
4 2 5 1 3 6
↓β
3 6 4 5 1 2
↓β
1 2 3 4 5 6
となるので#<β>=4となりました。

(c)については∀a∈A_6に対して,どうすればa<β>=<β>aが言えるのでしょうか?
A_6の元の個数は6!/2=360個もあるのですよね。

(d)については右類の個数はLagrangeの定理と(b)から,
#{a<β>;a∈S_6}=#S_6÷4=6!/4=6・5・3・4・1=180個と分かりましたが,右類の元の個数はどのようにして求めればいいの
でしょうか?

吉田京子