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From: KyokoYoshida <kyokoyoshida123@gmail.com>
Newsgroups: fj.sci.math
Subject: Re: Ramanujan $B$NOB$NEy<0$N>ZL@ (B
Date: Wed, 9 Feb 2011 12:00:30 -0800 (PST)
Organization: http://groups.google.com
Lines: 112
Message-ID: <607ffe2c-460d-4bfa-ab63-e087abe4a953@y12g2000prf.googlegroups.com>
References: <ba6275cc-1b4b-4b9a-bfd9-c549b641dfca@u6g2000yqk.googlegroups.com>
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ご回答誠に有難うございます。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_iv_...
>> で(1/1^s+1/2^s+…)(1/1^{s-α}+1/2^{s^α}+…)=Σ_{n_1,n_2=1}^∞
>> n_2^α/(n_1n_2)^s とどうして変形できるのでしょうか?
> 1/1^s + 1/2^s + 1/3^s + 1/4^s +\cdots
>  = \sum_{n_1=1}^\infty 1/(n_1)^s
> であり,

これはそうですね。

> 1/1^{s-\alpha} + 1/2^{s-\alpha} + 1/3^{s-\alpha} + 1/4^{s-\alpha} + \cdots
>  = 1^\alpha/1^s + 2^\alpha/2^s + 3^\alpha/s^\alpha + 4^\alpha/s^\alpha +
：
> \sum_{n_1, n_2=1}^\infty (n_2)^\alpha/(n_1 n_2)^s
> と表記するわけです.

ありがとうございます。納得です。

>>> \sum_{n_1, n_2 = 1}^\infty (n_2)^\alpha/(n_1 n_2)^s において, n = n_1
>>> n_2, d = n_2 とすれば, = \sum_{n=1}^\infty (\sum_{d|n} d^\alpha)/n^s という
：
> n = n_1 n_2, d = n_2 とおくことにより,
> \sum_{n=1}^\infty \sum_{d|n} に書き換えられます.

つまり,d:=ijと置いてもΣ_{d=1}^∞ ij=1・1+1・2+2・1+2・2+…=1+2+2+4+…となると裏で断ってある訳ですね。

>>> ここは, f|n, g|n となる n は [f, g]|n となる n であることを 用いて和の順序変更をしています.
> \sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty \sum_{[f, g]|n} f^\alpha g^\beta / n^s
> の書き換えが,
：
> ところが, \sum_{[f, g]|n} 1/(n/[f, g])^s は,
> f, g が何であっても, 同じ値を持ちます.
> それは \sum_{d=1}^\infty 1/d^s (= \zeta(s)) と書けるわけです.

あっ～! 納得です!!  確かに上手くいきました。参りました。

>> http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_...
>> となりますよね。左辺は問題ありませんが右辺では Σ_{f=1}^∞Σ_{g=1}^∞部分より前にΣ_{n/[f,g
：
> ここでも, d = n/[f, g] の呪縛から抜け出せていないようですね.
> n^s = \sum_{d|n} \phi_s(d) というときの d は
> 単に n の約数全てを動く変数と言うだけの意味です.

過去記事

『順次変形して行くだけです.

 \sum_{n=1}^\infty \simga_\alpha(n) \sigma_\beta(n) / n^s
  = \sum_{n=1}^\infty 1/n^s \sum_{f|n} f^\alpha \sum_{g|n} g^\beta
  = \sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty \sum_{[f, g]|n}
     f^\alpha g^\beta / n^s


ここは, f|n, g|n となる n は [f, g]|n となる n であることを
用いて和の順序変更をしています.
 f g = [f, g] (f, g) ですから, [f, g] = f g / (f, g) であり,
 n/[f, g] = d とすれば, n = [f, g] d ですから,


  = \sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty \sum_{d=1}^\infty
     f^\alpha g^\beta / ([f, g] d)^s
  = \sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty \sum_{d=1}^\infty
     f^{\alpha - s} g^{\beta - s} (f, g)^s / d^s
  = (\sum_{d=1}^\infty 1/d^s) \times
    (\sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty f^{\alpha-s} g^{\beta-s} (f,
g)^s)


となりますね. (1.11) を用いて, (f, g)^s を
 \sum_{d|(f,g)} \phi_s(d) に置き換えれば,


  = \zeta(s) \times
    \sum_{f=1}^\infty \sum_{g=1}^\infty f^{\alpha-s} g^{\beta-s}
\times
    (\sum_{d|(f, g)} \phi_s(d))


 f = d f', g = d g' とすれば,


  = \zeta(s) \times
    \sum_{d=1}^\infty \sum_{f'=1}^\infty \sum_{g'=1}^\infty
    (d f')^{\alpha-s} (d g')^{\beta-s} \phi_s(d)
  = \zeta(s) \times
    (\sum_{f'=1}^\infty f'^{\alpha-s})(\sum_{g'=1}^\infty g'^{\beta-
s})
    \times (\sum_{d=1}^\infty \phi_s(d) d^{\alpha+\beta-2s})
  = \zeta(s) \zeta(s-\alpha) \zeta(s-\beta) \times
    \sum_{d=1}^\infty d^s \prod_{p|d} (1 - p^{-s}) d^{\alpha+
\beta-2s} 』

を再度拝読しているのですが拙解

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_03.JPG

http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_04.JPG
http://beauty.geocities.jp/yuka26076/study/Number_Theory/Lemma1_1_vi_05.JPG

では上記の
『 = \zeta(s) \times
    \sum_{d=1}^\infty \sum_{f'=1}^\infty \sum_{g'=1}^\infty
    (d f')^{\alpha-s} (d g')^{\beta-s} \phi_s(d) 』
まではうまく言ってるようですが
f=df',g=dg'とd(つまりdはfとgの公約数という意味ですよね?)
からどうして
\sum_{d=1}^\infty  と d^{\alpha+\beta-2s})
が突然出現してしまっていて戸惑ってます。
どのように解釈すればいいのでしょうか?

お手数お掛けしましてまことに申し訳ありません。