ご回答誠にありがとうございます。

>> つまり,A^2+B^2=Mp…(*)なるA,B∈Z,M∈Nが存在する
>> (∵今,x^2≡-1(mod p)なるxがある事が分かったので)。
> このことから, Q(M) := { (A, B) ∈ Z^2 ; A^2 + B^2 = Mp } と
> するとき, ある正の整数 M について Q(M) が空集合でないことが
> 分かったわけです.

そうですね。

>> そこでM=1の時,(*)を満たすA,B∈Zがあるなら,pを2つの平方の和で表せた事に終わり。
> 目標は Q(1) が空集合でないことを示すことです.

なるほど。方針が分かってきました。

> > もし,M≧2の時,(*)を満たすA,B∈Zがあるなら
> > a^2+b^2=mp…(**)なるa,b∈Z,N∋m≦M-1が存在するかを調べる。
>  M > 1 で Q(M) が空集合でないならば,
>  m < M となる正の整数 m で Q(m) が空集合でないものがある
> ことを示します. この部分は本の後の部分を読んで下さい.

ありがとうごさいます。

> > m=1の時,(**)を満たすa,bが存在するなら(*)に帰着し終わり,
> > 1<m≦M-1に対して(**)を満たすa,bが存在するなら
> > Mにmを代入して,再度a^2+b^2=mp…(**)なるa,b∈Z,N∋m≦M-1が存在するかを調べる。
> > を繰り返す。
>  Q(m) が空集合でないことを示せたけれども,
> 未だ 1 < m であれば, この m を M として,
> 同じ議論を繰り返すわけです.
> 最初の M を M_0 とし, m を M_1 とし,
> 順に決まる正の整数を M_2, M_3, ... とすれば,
>  M = M_0 > M_1 > M_2 > M_3 > … ですから,
> いつかは M_k = 1 となって止まる他ありません.
>  Q(M_k) = Q(1) が空集合でないことが示されます.

そんなに難しい事ではありませんでしたね。


吉田京子