鴻池さん、ありがとうございます。

kounoike@mbh.nifty.com wrote:
> "Yuzuru Hiraga" <hiraga@slis.tsukuba.ac.jp> wrote in message
> news:42300E94.8090504@slis.tsukuba.ac.jp...
> 
>>以下の５つの（５桁の）数はいずれも 17 で割り切れる。
>>　12342
>>　21029
>>　36601
>>　47277
>>　52292
>>各数の桁をバラした数字を成分とする 5×5 行列：
>>　[ 1 2 3 4 2 ]
>>　[ 2 1 0 2 9 ]
>>　[ 3 6 6 0 1 ]
>>　[ 4 7 2 7 7 ]
>>　[ 5 2 2 9 2 ]
>>を A とするとき、det A は 17 で割り切れることを示せ。
> 
> ちょっと考えて見ました。上の条件を行列で表せば，
> AX=cB
> ここで，Aは(n,n)の行列，Xは(1,n)の行列，cは定数，Bは(1,n)の行列で
> Xの要素は，Xi=10^(n-i)と表せる。
> これをXについて解くとすれば，

A が非正則、つまり det A = 0 の場合も考えておく必要がありますね。
もっとも det A = 0 なら c(≠0) で割り切れることは明らかですが。

> 例えばA’を(n,n)の行列で
> 
> cB1 A12 A13・・・A1n
> cB2 A22 A23・・・A2n
> ・・・・・・・・・・・・・・・・・
> cBn An2 An3・・・Ann
> 
> とすればX1は
> X1=A’/det A
> と表せる。　A’は行列式の性質より
> A’= cB1K1+cB2K2+・・・+cBnKn=c(K1’+K2’+・・・+Kn’)

K_i がなんであるかは断っておくべきですね。

> det A=A’/X1  ただし，X1=10^(n-1)
> なので，det Aはcで割り切れる。
> （K1’+K2’+・・・+Kn’がX1で割り切れる説明がぬけていますが。自明とします？。）

det A が整数であることは明らかでしょうから、
c が 10 と互いに素ならいいのですが、
c が 2 や 5 の倍数だっりした場合はどうなりますか？

で、大筋としては正しいと思いますが、もっとあっさりできないでしょうか？
（ヒント：　多重線型性など、行列式の性質をダイレクトに使う。）

===================
鴻池さんが一般化を示されたので、それにしたがって言い直すと：

　（高々）n 桁の n 個の数 { b_k } があり、いずれも c(≠0) で割り切れる。
　その「桁行列」 A = { a_ij } を：
　　　a_ij = b_i の第 j 桁目の数字
　とする。ただし、n 桁未満の数については上位の桁数字を 0 とする。
　　# 元の問題に合わせるには「第 n-j 桁目」とすべきだろうけど、
　　# 行列の左右が入れ替わるだけで、以下については影響なし。
　このとき det A は c で割り切れることを示せ。

このように一般化したほうがむしろ簡単かな？
　# 私は当初、「n が 9 で割り切れる ⇔ n の各桁の和が 9 で割り切れる」
　# といったことに関係する話かと思ったのですが、
　# 上の一般化を見てわかるように、そうではなかった。

本質的には同じだけど、もう少し簡単化した問題。
　n×n 行列 A の各行の成分の和が c で割り切れるなら、
　det A も c で割り切れることを示せ。

（平賀＠筑波大）