今ようやく御指摘の意味がわかりました。φ+ψや φψや φ○ψがEndRにはいっているわけでは
ないということですね。
(φ+ψ)(ab) = (φ+ψ)(a)(φ+ψ)(b) 
            = (φ+ψ)(a)(φ+ψ)(b) 
            = (φ(a)+ψ(a))(φ(b)+ψ(b)) 
           != φ(a)φ(b)+ψ(a)ψ(b) 
            = φ(ab)+ψ(ab)
すいません。なにか勘違いしていたようです。

柳楽

Eiji KATSURA wrote:
> 
> <3EE1A2B9.C3BFA68E@domain.com>の記事において
> email@domain.comさんは書きました。
> 
> > 確かに恒等写像や０への写像を除くと整数環Z->Zで準同型というのは
> > 思い付きません。こんなのはダメでしょうか？
> > φ:Z[X]->Z[X]
> > でZ[X]の元f(X) = a_1 X^n + a_2 X^(n-1) + ... + a_n+1に対して
> > φ(f(X)) = a_n+1 X + ... + a_2 X + a_1
> >
> > この場合でもEndRの構造を考えるほど多くの写像があるわけではないですね。
> 
> えっと、Z[X]->Z[X] の環準同型は、X の行き先だけで決まる
> ( そして、Xの行き先は任意に選べる ) のでそこそこあるのですけれど、
> 
> > > 和や積が 「環」準同型になるのは、かなりまれだと
> > > 思いますが、どんな例がありますか？
> 
> でいいたかったのは、φとψが環の準同型でも、
> (φ+ψ)(a) = φ(a)+ψ(a) で定義した写像は 一般には加群の準同型
> ではあるけれど、環の準同型ではない。
> 
> ( それは 文字化けしていてほとんど解読できない 清娵 さんの
>   記事 <61c04dbb.0306061604.229a80a7@posting.google.com> に 書かれて
>   いるのだと思う)
> 
> > 環A->Bの環準同型は豊富にあると思いますが、自己への環準同型は制限が強く
> > あまり豊かではないのでしょうか？
> 
> 豊富な環もあれば、豊富でない環もあるということでしょう。
> 例えば、 R = k[W, X, Y, Z]/( WZ - XY - 1 ) などはいかがですか？
> 
> 桂 英治＠(株)横浜インテリジェンス
> (katsura@hamaint.co.jp)