Path: news.ccsf.jp!shiino.jp!mmcatv.co.jp!jpix!newsfeed2.kddnet.ad.jp!newsfeed2.kddnet.ad.jp!news.glorb.com!postnews.google.com!n33g2000pri.googlegroups.com!not-for-mail From: kyokoyoshida123@gmail.com Newsgroups: fj.sci.math Subject: Re: ( $B&8 (B, $B&2 (B, $B&L (B) $B$K$*$$$F (Bf_k $B$O (Bf $B$K (BL^p $B<}B+ (B(1 $B!e (Bp $B!e!g (B) $B$J$i"O (Bg $B": (BL^q (1/p+1/q=1) $B$KBP$7$F"i (B_ $B&8 (Bf_k(x)g(x)d $B&L"*"i (B_ $B&8 (Bf(x)g(x)d $B&L$r<($; (B Date: Thu, 4 Dec 2008 14:33:10 -0800 (PST) Organization: http://groups.google.com Lines: 109 Message-ID: <2b9caa89-935e-498d-b4c6-e8e4efeaf99a@n33g2000pri.googlegroups.com> References: <081202195414.M0131073@cs1.kit.ac.jp> <46227c2e-92d8-46c3-af8e-cdc011b174c0@a29g2000pra.googlegroups.com> <081203131122.M0121376@cs1.kit.ac.jp> <081205000821.M0130647@cs2.kit.ac.jp> NNTP-Posting-Host: 219.111.67.142 Mime-Version: 1.0 Content-Type: text/plain; charset=ISO-2022-JP Content-Transfer-Encoding: 7bit X-Trace: posting.google.com 1228429990 3446 127.0.0.1 (4 Dec 2008 22:33:10 GMT) X-Complaints-To: groups-abuse@google.com NNTP-Posting-Date: Thu, 4 Dec 2008 22:33:10 +0000 (UTC) Complaints-To: groups-abuse@google.com Injection-Info: n33g2000pri.googlegroups.com; posting-host=219.111.67.142; posting-account=WW-P-goAAADS1u9yskwAcJfIST-zvGgd User-Agent: G2/1.0 X-HTTP-UserAgent: Mozilla/4.0 (compatible; MSIE 7.0; Windows NT 5.1; AntivirXP08),gzip(gfe),gzip(gfe) Xref: news.ccsf.jp fj.sci.math:2358 ご回答大変ありがとうございます。 > はい. ∫_Ω 0 dμ = 0 は当然です. μ(Ω)=∞の時,0・∞と定義するみたいですね。 > 非負の関数 f の積分 ∫_Ω f dμ は, 0 ≦ s ≦ f を満たす > 単関数 s の積分 ∫_Ω s dμ の上限として定義します. > その単関数 s = Σ_{i=1}^N a_i 1_{A_i} において, > μ(A_i) = ∞ となるものがある場合に, 単関数の積分 > ∫_Ω s dμ = Σ_{i=1}^N a_i μ(A_i) をどう考えるか. > 一つの立場は, a_i > 0 なら ∫_Ω s dμ = Σ a_i μ(A_i) = ∞ > とし, a_i = 0 ならその a_i μ(A_i) は 0 と「決める」とする > ものです. これなら「約束で」∫_Ω 0 dμ = 0 です. ありがとうございます。大変参考になります。覚えておきます。 > もう一つの立場は, 単関数において μ(A_i) = ∞ となるような > A_i は許さないとするものです. そのように単関数を制限すると : > そのようなものの上限として ∫_Ω 0 dμ も 0 です. ∫_Ωf(x)dμ:=lim[n→∞]∫_Ω_nf(x)dμで定義するようなものですね。 この場合,∫_Ω0dμ:=lim[n→∞]∫_Ω_n0dμ=lim[n→∞]0・μ(Ω_n) =lim[n→∞]0=0となりますね。 > 積分が「線形」である為には ∫_Ω 0 dμ = 0 でないといけない > わけですが, そうなることを納得するには後者の方が納得しやすい > でしょうか. 但し, μ(Ω) = ∞ の時に ∫_Ω 1 dμ = ∞ は > 自明ではなくなります. えっ。どうして自明でなくなるのでしょうか? > いえ, lim_{k→∞} a_k = a というのは, > lim_{k→∞} |a_k - a| = 0 が成り立つこと, > というのがそもそもの定義です. 正式にはそのように定義するのですね。 > そして, > lim_{k→∞} |a_k - a| = 0 と > lim_{k→∞} (a_k - a) = 0 はやはり同じですね. そうですね。 >> どうれすればlim_{k→∞}∫_Ω f_k(x) g(x)dμが収束する事が言えますでしょうか? > |∫_Ω f_k(x) g(x) dμ - ∫_Ω f(x) g(x) dμ| > = |∫_Ω (f_k(x) g(x) - f(x) g(x)) dμ| > ≦ ∫_Ω |f_k(x) g(x) - f(x) g(x)| dμ > から, lim_{k→∞} |∫_Ω f_k(x) g(x) dμ - ∫_Ω f(x) g(x) dμ| > = 0 を証明したので, それで示せています. 挟み撃ちの定理からlim[k→∞]|∫_Ω f_k(x) g(x) dμ - ∫_Ω f(x) g(x) dμ|=0 つまりlim[k→∞]∫_Ω f_k(x) g(x) dμ=∫_Ω f(x) g(x) dμで納得です。 >> 「0> よって今,0<1 いいえ. 今 μ(Ω) < ∞ とは仮定していません. > H\"older の不等式の証明は a, b ≧ 0 について > 　a b ≦ (1/p) a^p + (1/q) b^q これはYoung'sの不等式ですね。 > を示すところから始まります. これから, > ∫_Ω |f g| dμ ≦ (1/p) ∫_Ω |f|^p dμ + (1/q) ∫_Ω |g|^q dμ > となり, f が L^p, g が L^q なら f g は L^1 です. こういうところでYoung'sの不等式が役立っていたのですね。 >>>> ここで lim[k→∞]∫_Ω |f_k(x) - f(x)|^p dμ)^{1/p}=0(∵題意), ∫_Ω >>>> |g(x)|^q dμ)^{1/q}<∞(∵題意)より lim[k→∞](∫_Ω |f_k(x) - f(x)|^p >>>> dμ)^{1/p}×(∫_Ω |g(x)|^q dμ)^{1/q}=0 従って,lim[k→∞]∫_Ω |f_k(x) >>>> g(x) - f(x) g(x)| dμ=0で >>> これでお仕舞いですね. >> えーと,ここが混乱しています。 lim[k→∞]∫_Ω |f_k(x) - f(x)|^p >> dμ)^{1/p}=0(∵題意), (∫_Ω |g(x)|^q dμ)^{1/q}<∞(∵題意)はわかります。 >> しかも仮定からlim[k→∞]‖f_k(x)-f(x)‖_1=0と ‖g(x)‖_1<∞ですよね。 > ええと, lim_{k→∞} ‖f_k(x)-f(x)‖_p = 0 と ‖g(x)‖_q < ∞ ですね. そうですね。lim[k→∞]∫_Ω |f_k(x) - f(x)|^p dμ)^{1/p}=0からlim_{k→∞} ‖f_k(x)-f(x) ‖_p = 0が言えますね。 ‖g(x)‖_q < ∞ も題意そのものですね。 >> |∫_Ωf_k(x)g(x)dμ-∫_Ωf(x)g(x)dμ|=|∫_Ω(f_k(x)-f(x))g(x)dμ| >> ≦∫_Ω|f_k(x)-f(x))g(x)|dμ=lim[k→∞]‖(f_k(x)-f(x))g(x)‖_1 > そうです. >> でここからlim[k→∞]‖f_k(x)-f(x)‖_1=0と ‖g(x)‖_1<∞を使って >> =0を引き出すのだと思います。 > 1-norm の話ではありません. >> どうすればlim[k→∞]‖(f_k(x)-f(x))g(x)‖_1=0が言えますでしょうか? > ですから, H\"older の不等式により > ‖(f_k(x)-f(x))g(x)‖_1 ≦ ‖f_k(x)-f(x)‖_p ‖g(x)‖_q よって題意lim_{k→∞} ‖f_k(x)-f(x)‖_p = 0から lim_{k→∞} ‖f_k(x)-f(x)‖_p ‖g(x)‖_q=0も言え, 自動的にlim_{k→∞} ‖(f_k(x)-f(x))g(x)‖_1=0となりますね。納得です。